结论前置：员工在工伤认定书下来后不幸去世，其家属和遗属确实有权获得一定的工伤保险赔偿或抚恤金，但具体赔偿项目和金额需根据员工死亡的具体时间（停工留薪期内或停工留薪期届满后）以及死亡与工伤的关联程度来确定。

一、停工留薪期内死亡的情况

如果员工在停工留薪期内因工伤或职业病导致死亡，那么这种情况视同工伤，其家属和遗属可以享受以下赔偿：

1. 丧葬补助金：

   • 标准：6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
   • 示例：若当地上年度职工月平均工资为6000元，则丧葬补助金为36000元。

2. 供养亲属抚恤金：

   • 发放对象：由因工死亡职工生前提供主要生活来源且无劳动能力的亲属，如配偶、子女、父母等。
   • 发放标准：
     • 配偶：每月为职工本人工资的40%。
     • 其他亲属：每人每月为职工本人工资的30%。
     • 孤寡老人或孤儿：在上述基础上增加10%，即配偶每月50%、其他亲属每人每月40%。
   • 总额限制：所有亲属的抚恤金之和不得超过职工生前的工资。

3. 一次性工亡补助金：

   • 标准：上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。
   • 示例：若上一年度全国城镇居民人均可支配收入为50000元，则一次性工亡补助金为1000000元。

二、停工留薪期届满后死亡的情况

如果员工在停工留薪期届满后死亡，赔偿情况则相对复杂，需根据具体情况来分析：

1. 一级至四级伤残员工停工留薪期满后死亡：

   • 赔偿项目：近亲属可以享受丧葬补助金和供养亲属抚恤金，但不享受一次性工亡补助金。

2. 其他情况死亡：

   • 处理原则：需要具体分析死亡与工伤的因果关系。如果经鉴定死亡与工伤存在直接因果关系，那么近亲属可以主张工亡待遇；如果死亡与工伤无直接因果关系，但之前已经认定了工伤，那么近亲属仍然可以享受工伤医疗待遇、伤残津贴等。

三、处理流程与建议

1. 及时通知：家属应立即将员工去世的情况通知用人单位和工伤保险机构，以便启动处理程序。
2. 核实工伤认定：确认工伤认定是否有效，或者是否需要进一步调查确认工伤与死亡的关联。
3. 了解赔偿权益：根据当地法律法规和工伤保险政策，明确遗属的赔偿权益。
4. 提交申请材料：向社会保险行政部门提交工亡认定申请，包括工伤认定决定书、死亡证明、近亲属关系证明等材料。
5. 跟进审核进度：保持与社保部门的沟通，及时了解申请进展情况。
6. 领取待遇：凭工亡认定结论等相关材料，向工伤保险经办机构申请领取各项工亡待遇。如果用人单位未缴纳工伤保险费，相关待遇由用人单位承担。

四、注意事项

• 地区差异：具体处理步骤和赔偿标准可能因地区而异，建议根据实际情况操作，并咨询当地相关部门或我（舒进律师）以获取准确指导。
• 保留证据：在整个处理过程中，家属应保留好所有相关证据和材料，以备不时之需。

希望以上解答能够帮助您更好地了解和处理员工工伤认定后死亡的相关事宜。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。