结论：若交通事故开始私了后对方反悔要求立案，而交警不立案，您可以根据具体情况采取以下措施来维护自己的合法权益。
分析角度一：交警不立案的合法性审查
事故性质与立案标准：
- 交警部门对于交通事故的立案，通常基于事故的严重性、是否造成人员伤亡或财产损失等因素进行判断。如果事故轻微，双方已达成私了协议，且没有造成严重后果，交警可能认为无需立案处理。
- 法律依据：根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关规定，交警部门有权根据事故情况决定是否立案。但这一决定应当基于合法、合理的判断标准。
对方反悔的合法性：
- 对方在私了后反悔，可能基于多种原因，如发现私了协议存在不公平、不合法之处，或者事故后果比预期严重等。对方有权要求重新处理事故，但这并不意味着交警必须立案。
- 建议：您可以要求对方提供反悔的具体理由和证据，以便评估其合理性。
分析角度二：应对交警不立案的措施
与交警部门沟通：
- 您可以向交警部门详细说明事故情况，包括私了协议的内容、对方反悔的原因等，请求交警部门重新考虑立案。
- 沟通技巧：在沟通时，保持冷静、理性，提供充分的事实和证据支持您的观点。
申请行政复议或提起行政诉讼：
- 如果交警部门坚持不立案，且您认为其决定违法或不合理，您可以依法申请行政复议或提起行政诉讼，要求撤销或变更交警部门的决定。
- 法律依据：根据《中华人民共和国行政复议法》和《中华人民共和国行政诉讼法》，公民、法人或其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其合法权益的，有权申请行政复议或提起行政诉讼。
寻求法律援助或咨询专业律师：
- 在处理此类复杂法律问题时，寻求法律援助或咨询专业律师是非常重要的。律师可以为您提供专业的法律意见，帮助您制定合适的应对策略。
- 我的角色：作为专注于民间借贷、交通事故领域的专业律师，我可以为您提供详细的法律咨询和代理服务，帮助您解决交通事故立案问题。
分析角度三：预防类似情况的建议
完善私了协议：
- 在私了时，务必确保协议内容完整、明确，包括事故经过、责任划分、赔偿金额等关键信息。最好由双方签字确认，并保留好相关证据。
- 示例：协议中可以明确约定“双方就本次事故已达成一致意见，不再追究对方任何责任。如一方反悔，需承担因此产生的所有法律后果。”
及时报警并等待交警处理：
- 如果事故较为严重或存在争议，建议及时报警并等待交警到场处理。这样可以确保事故得到公正、合法的处理，避免后续纠纷。
行动建议：
- 首先，与交警部门沟通，了解不立案的具体原因，并提供相关证据和事实支持您的观点。
- 如果沟通无果，考虑申请行政复议或提起行政诉讼，维护自己的合法权益。
- 在处理过程中，及时寻求法律援助或咨询专业律师，以确保您的权益得到充分保障。
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