结论：驾驶员在撞到您的狗后逃跑，这一行为可能构成违法行为，具体需根据实际情况判断是否构成肇事逃逸或违反其他相关法律规定。

分析：

1. 肇事逃逸的认定：

   • 根据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，交通事故发生后，车辆驾驶人应当立即停车，保护现场，抢救受伤人员，并迅速报告执勤的交通警察或者公安机关交通管理部门。如果驾驶员在撞到您的狗后逃跑，且该狗属于有主物，且事故造成了狗的伤害或死亡，那么驾驶员的行为可能构成肇事逃逸。
   • 肇事逃逸的认定不仅限于对人身的伤害，对财产（包括宠物）的损害也可能构成逃逸行为，具体取决于当地司法实践和法律规定。

2. 民事赔偿与责任：

   • 无论驾驶员是否构成肇事逃逸，他都有可能需要对您的狗造成的损害承担民事赔偿责任。这包括狗的医疗费用、可能的死亡赔偿金（如果狗因事故死亡）以及您因狗受伤或死亡而遭受的其他直接损失。
   • 您可以通过收集证据（如现场照片、视频、证人证言等）来证明驾驶员的过错和您的损失，以便在后续的法律程序中主张赔偿。

3. 可能的法律后果：

   • 如果驾驶员被认定为肇事逃逸，他可能面临行政处罚，如罚款、吊销驾驶证等。在严重情况下，如果逃逸行为导致严重后果（如您的狗因未得到及时救治而死亡），驾驶员还可能面临刑事责任的追究。
   • 即使驾驶员不构成肇事逃逸，他也需要承担民事赔偿责任。如果您与驾驶员无法就赔偿事宜达成一致，您可以通过法律途径（如起诉）来维护自己的权益。

建议：

• 收集证据：尽快收集与事故相关的所有证据，包括现场照片、视频、证人证言等。这些证据将有助于您在后续的法律程序中证明驾驶员的过错和您的损失。
• 报警处理：立即向当地公安机关报案，说明事故情况并提供相关证据。公安机关将进行调查并出具事故认定书，这将有助于您后续的法律维权。
• 咨询专业律师：在处理此类纠纷时，建议您咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。律师将能够根据您的具体情况和当地法律规定，为您提供更全面的法律分析和维权策略。

后续行动：

• 如果您决定通过法律途径维护自己的权益，请确保在诉讼时效内提起诉讼。一般来说，民事诉讼的时效期间为三年，自您知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
• 在诉讼过程中，请积极配合律师的工作，提供必要的证据和信息，以便律师能够更好地代表您进行维权。