结论前置：劳动仲裁判决书下来后，公司不接受公告并不影响判决书的法律效力及后续执行程序。您可以通过以下方式应对和处理：
理解送达方式及法律效力
- 根据《劳动争议调解仲裁法》及相关规定，劳动仲裁机构送达仲裁文书的方式多样，包括直接送达、留置送达、委托送达、邮寄送达和公告送达等。若公司拒绝接收公告，这并不影响公告的送达效力。公告送达是法律认可的一种送达方式，一旦公告期满，即视为公司已经收到判决书。
确认送达状态并保留证据
- 您应主动联系劳动仲裁机构，确认判决书的送达状态。如果仲裁机构已经采取了公告送达的方式，您应要求仲裁机构提供公告的证明材料，如公告发布的报纸、网站截图等，作为后续执行的依据。
推进执行程序
- 判决书生效后，如果公司不履行判决义务，您可以向人民法院申请强制执行。在申请执行时，您需要提交劳动仲裁判决书、送达证明等相关材料。人民法院将依法对公司进行强制执行，包括查封、扣押、拍卖财产等措施，以保障您的合法权益。
寻求法律帮助
- 如果您在处理过程中遇到任何困难或疑问，比如不清楚如何申请强制执行、需要准备哪些材料等，都可以随时向我咨询。我会根据您的具体情况，提供详细的法律指导和帮助。
法律背景与建议：
- 劳动仲裁是解决劳动争议的重要途径，其判决具有法律效力。公司不接受公告并不影响判决的效力，您无需因此感到担忧或无助。
- 在处理此类问题时，保留好相关证据至关重要。无论是送达证明还是其他与案件相关的材料，都应妥善保管，以备后续使用。
- 如果公司拒不履行判决义务，您有权向人民法院申请强制执行。这是维护您合法权益的有效手段，也是法律赋予您的权利。
可能法律后果：
- 如果公司不履行判决义务，除了可能面临人民法院的强制执行措施外，还可能因拒不执行判决而承担法律责任，如罚款、拘留等。
- 您作为劳动者，有权依法维护自己的合法权益。如果公司在劳动争议中存在违法行为，您还可以考虑向劳动监察部门投诉或寻求其他法律救济途径。
总之，面对公司不接受公告的情况，您应保持冷静，依法行事。通过确认送达状态、推进执行程序、寻求法律帮助等方式，您可以有效维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。