结论：在一般情况下，老人去世后其子女都有继承权，但这一权利可能因特定情形而受到影响或丧失。以下是对这一问题的详细分析：
一、法定继承与第一顺序继承人
根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，遗产的法定继承人包括配偶、子女、父母（第一顺序），以及兄弟姐妹、祖父母、外祖父母（第二顺序）。在老人去世且未留下有效遗嘱或遗赠扶养协议的情况下，子女作为第一顺序继承人，自然享有对老人遗产的继承权。这里的“子女”包括婚生子女、非婚生子女、养子女以及有扶养关系的继子女，确保了各类子女在法律上的平等地位。
二、子女继承权可能受限或丧失的情形
尽管子女在一般情况下享有继承权，但这一权利并非绝对不变。以下情形可能导致子女的继承权受到限制或丧失：
- 丧失继承权的情形：
- 子女若故意杀害被继承人（即老人），将直接丧失继承权。
- 为争夺遗产而杀害其他继承人的，同样会丧失继承权。
- 遗弃被继承人或虐待被继承人情节严重的，也将导致继承权的丧失。
- 伪造、篡改、隐匿或销毁遗嘱，且情节严重的，同样会失去继承权。
- 以欺诈、胁迫手段迫使或妨碍被继承人设立、变更或撤回遗嘱，且情节严重的，也会丧失继承权。
值得注意的是，对于上述第三项至第五项行为，如果继承人确有悔改表现，并得到被继承人的宽恕或在遗嘱中被重新列为继承人，那么该继承人可以恢复其继承权。
遗嘱的影响：
- 如果老人立有合法有效的遗嘱，并指定了具体的遗产分配方式和继承人范围，那么遗产将严格按照遗嘱进行分配。这意味着，未在遗嘱中指定的子女可能无法按法定继承的方式获得遗产。
扶养义务的影响：
- 在分配遗产时，对于有扶养能力和条件但不尽扶养义务的继承人，法律规定应当不分或少分遗产。相反，对被继承人尽了主要扶养义务或与被继承人共同生活的继承人，在分配遗产时可以多得。
三、特殊情形下的继承问题
代位继承：
- 如果老人的子女先于老人去世，那么该子女的直系晚辈血亲（如孙子、孙女）有权代位继承本应属于他们父母的遗产份额。代位继承是指被继承人的子女先于被继承人死亡的，由被继承人的子女的直系晚辈血亲代位继承。
转继承：
- 如果继承人在遗产分割前死亡，其应继承份额由其继承人继承。例如，如果老人在去世后，其某个子女在遗产分割前也去世了，那么该子女应继承的份额将由其继承人（如该子女的配偶、子女）继承。
四、建议与行动步骤
核查遗嘱：
- 确认老人是否留有有效遗嘱及具体内容，以了解遗产的分配方式。
收集证据：
- 如果存在争议或需要证明扶养义务的履行情况，收集相关证据（如医疗记录、社区证明、经济往来凭证等）以支持自己的主张。
法律咨询与协助：
- 在处理遗产继承问题时，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据具体情况提供详细的法律建议和指导。
协商调解：
- 在继承过程中，尽量与其他继承人保持沟通，通过协商或调解的方式解决争议，以维护家庭和谐。
总之，老人去世后其子女在一般情况下都有继承权，但这一权利可能因特定情形而受到影响或丧失。在处理遗产继承问题时，应充分考虑各种法律因素，并采取相应的行动步骤以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。