结论：公司是否对只雇佣一天的兼职员工在公司突发疾病住院的情况承担责任，需根据具体情况判断，主要看是否构成工伤以及公司是否尽到了相应的义务。以下从不同角度进行分析：
一、是否构成工伤
工伤认定条件：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，工伤的认定通常要求员工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害，或者因履行工作职责受到暴力等意外伤害。对于突发疾病的情况，一般要求疾病是在工作时间和工作岗位上突发，且情况紧急，经抢救无效在48小时之内死亡的，才可能被认定为工伤（视同工伤）。
- 在您描述的情况中，员工仅在公司工作一天，且突发疾病住院，并未提及死亡情况，因此，一般情况下，该员工的突发疾病住院并不直接构成工伤。但具体还需根据当地社保部门或劳动能力鉴定委员会的认定结果来确定。
特殊情况：
- 如果员工能够证明其突发疾病与工作有直接关系，例如因工作强度过大、工作环境恶劣等导致疾病突发，那么可能存在一定的争议空间。但这种情况需要充分的证据支持，且最终认定权在社保部门或劳动能力鉴定委员会。
二、公司是否尽到相应义务
安全保障义务：
- 无论员工是否构成工伤，公司都有义务为员工提供一个安全的工作环境。如果员工突发疾病是由于公司的工作环境、工作条件等导致的，公司可能需要承担一定的民事赔偿责任。
- 在您描述的情况中，如果公司能够证明其已经尽到了安全保障义务，例如提供了必要的安全设施、进行了必要的安全培训等，那么公司可能不需要承担赔偿责任。
及时救助义务：
- 当员工在工作期间突发疾病时，公司有义务及时采取救助措施，如送医治疗等。如果公司未能及时履行救助义务，导致员工病情加重或造成其他严重后果的，公司可能需要承担相应的法律责任。
三、建议与措施
对于公司：
- 建议公司立即采取救助措施，确保员工得到及时的治疗。
- 同时，公司应积极配合社保部门或劳动能力鉴定委员会的调查和认定工作，提供必要的证据和资料。
- 如果公司认为自身可能存在责任或争议，建议及时咨询专业律师，以便更好地维护自身权益。
对于员工：
- 如果员工认为自身突发疾病与工作有关，且公司未尽到相应义务，可以收集相关证据，如医疗记录、工作记录等，向当地社保部门或劳动能力鉴定委员会申请工伤认定。
- 如果工伤认定结果对员工不利，员工还可以考虑通过法律途径维护自身权益，如提起民事诉讼等。
总结：公司是否对只雇佣一天的兼职员工在公司突发疾病住院的情况承担责任，需根据具体情况判断。如果员工能够证明其突发疾病与工作有直接关系，或者公司未尽到安全保障义务和及时救助义务，公司可能需要承担一定的法律责任。因此，建议公司和员工都积极采取措施，收集证据，以便更好地维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。