核心结论：在银行办理的每年存一万、连续存五年的业务（通常为定期存款或类似储蓄计划），若存款人中途去世且未完成全部存款，其继承人可通过法定继承程序处理已存入的资金及利息，未存入部分无需承担继续存款义务。以下从法律角度分情况说明：

1. 已存入资金的处理：继承权确认

• 法律依据：根据《民法典》第1122条，存款人去世后，其名下银行存款（包括已存入的定期存款及利息）属于遗产范围，由法定继承人或遗嘱继承人继承。
• 操作流程：
  1. 确定继承人：若存款人留有有效遗嘱，按遗嘱指定继承人分配；若无遗嘱，按法定继承顺序（配偶、子女、父母为第一顺序）分配。
  2. 办理继承公证：继承人需携带死亡证明、亲属关系证明、身份证等材料，到公证处办理继承权公证，明确各继承人份额。
  3. 支取存款：凭公证书、继承人身份证、存款凭证（如存折、银行卡）到银行办理支取或过户手续。

2. 未存入部分的处理：合同义务终止

• 法律性质：存款人与银行签订的储蓄合同属于实践性合同，以实际交付存款为生效要件。若存款人未完成后续存款，合同未履行的部分自动终止，继承人无需承担继续存款义务。
• 例外情形：若储蓄合同中明确约定“自动续存”或“扣款授权”（如绑定银行卡代扣），且银行已实际扣款，则已扣款项按上述继承规则处理；若未扣款成功，继承人无需补缴。

3. 特殊情形：保险与理财产品的区分

• 风险提示：若存款人购买的是“银保产品”（如分红型保险）或银行代销的理财产品，需区分产品性质：
  1. 保险产品：若存款人去世，受益人可按保险合同约定领取身故保险金（需提供死亡证明、保单、受益人身份证明等）。
  2. 理财产品：已投入的本金及收益按继承规则处理，未投入部分无需继续购买。
• 建议行动：继承人应首先确认存款性质（可通过银行流水、合同条款或咨询银行客服区分储蓄与理财产品）。

4. 实务建议：简化流程的注意事项

• 材料准备：提前整理存款人死亡证明、亲属关系证明（如户口本、出生证）、所有继承人身份证、存款凭证等，避免因材料不全延误办理。
• 协商分配：若继承人较多，可先协商分配方案并签署书面协议，再共同办理公证，减少纠纷。
• 税务问题：继承存款暂不征收个人所得税，但若存款产生利息，需按“利息、股息、红利所得”缴纳20%个人所得税（由银行代扣代缴）。

总结：您需先确认存款性质（储蓄/理财/保险），再通过继承公证明确权利人，最后办理资金支取。未存入部分无需继续履行，但已存入资金及利息需依法继承。如有具体材料或合同条款需要分析，可直接向我提供细节，我会进一步协助。