结论：医院在符合《中华人民共和国劳动合同法》相关规定的情况下，可以与员工签订无固定期限劳动合同。具体来说，主要包括以下几种情形。

1. 员工在医院连续工作满十年

• 法律背景：根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条的规定，劳动者在同一用人单位连续工作满十年的，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
• 具体情形：如果一名员工在医院连续工作了十年，且在此期间没有中断或离职的情况，那么该员工有权要求医院与其签订无固定期限劳动合同。

2. 医院初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，员工在医院连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年

• 法律背景：同样依据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳动者在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的，也应当订立无固定期限劳动合同。
• 具体情形：在医院初次实行劳动合同制度或国有企业改制重新订立劳动合同时，如果员工已经连续在医院工作了十年，并且距离法定退休年龄不足十年，那么医院应当与该员工签订无固定期限劳动合同。

3. 连续订立二次固定期限劳动合同，且员工没有法定解除情形，续订劳动合同的

• 法律背景：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有本法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，也应当订立无固定期限劳动合同。
• 具体情形：如果员工与医院已经连续订立了两次固定期限劳动合同，且员工在合同期间没有违反法律规定或合同约定的行为，那么在续订劳动合同时，医院应当与该员工签订无固定期限劳动合同。

4. 双方协商一致签订无固定期限劳动合同

• 法律背景：除了上述法定情形外，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者协商一致，也可以订立无固定期限劳动合同。
• 具体情形：如果医院与员工双方经过协商，达成一致意见，愿意签订无固定期限劳动合同，那么这也是完全合法的。

法律建议：

• 对于医院而言，在签订无固定期限劳动合同时，应当明确合同条款，包括工作内容、工作地点、工作时间、薪酬待遇等，以避免未来可能出现的纠纷。
• 对于员工而言，如果希望与医院签订无固定期限劳动合同，应当了解自己的权益和法律规定，并在符合法定情形时及时提出要求。

可能的法律后果：

• 如果医院违反法律规定，未与符合条件的员工签订无固定期限劳动合同，员工有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求医院承担相应的法律责任。
• 如果员工在签订无固定期限劳动合同后违反合同约定或法律规定，医院也有权依法解除劳动合同，并要求员工承担相应的法律责任。

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