结论：个人名义与个人签订的劳务合同，一般情况下，承包公司不承担连带责任，但存在例外情形。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况：承包公司不承担连带责任
在个人名义与个人签订的劳务合同中，合同双方是两个独立的个体，即劳务提供者和劳务接受者。根据合同的相对性原则，合同的权利和义务仅约束合同双方，而不涉及第三方。因此，在正常情况下，如果劳务提供者或劳务接受者因合同履行产生纠纷，承包公司（如果与合同无关）通常不承担连带责任。
二、例外情形：承包公司可能承担连带责任
尽管一般情况下承包公司不承担连带责任，但在某些特定情形下，承包公司可能会因法律的规定或合同的约定而承担连带责任。这些情形包括但不限于：
承包公司存在过错：如果承包公司在劳务合同的签订或履行过程中存在过错，如未尽到审查义务、提供虚假信息等，导致劳务提供者或劳务接受者遭受损失，那么承包公司可能需要承担相应的赔偿责任。这种责任可能是基于侵权责任法或合同法的相关规定。
合同约定承包公司承担连带责任：如果劳务合同中明确约定了承包公司对某一方的债务承担连带责任，那么在合同约定的范围内，承包公司需要承担相应的责任。这种约定是合同双方自愿达成的，具有法律约束力。
法律特别规定：在某些特定领域或特定情况下，法律可能特别规定承包公司需要承担连带责任。例如，在建筑领域，如果承包公司违法分包或转包工程，导致农民工工资拖欠等问题，那么承包公司可能需要与分包单位或转包单位承担连带责任。
三、法律建议
审查合同条款：在签订劳务合同时，应仔细审查合同条款，特别是关于责任承担的部分。确保合同条款明确、合法，并符合双方的利益。
了解法律责任：在签订合同前，应了解相关法律法规的规定，特别是关于连带责任的部分。这有助于在合同履行过程中避免不必要的法律风险。
寻求专业法律意见：如果对合同条款或法律责任存在疑问，建议寻求专业律师的法律意见。律师可以根据具体情况提供针对性的法律建议，帮助当事人更好地维护自己的权益。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将竭诚为你提供专业的法律服务。