结论：宠物店员工被客户的狗咬伤，老板是否需要承担全部医药费，这取决于具体情况。一般来说，老板可能需要承担一定的责任，但并不意味着必须承担全部医药费，具体还需根据实际情况和法律规定来判断。

分析角度一：老板的责任范围

1. 雇主责任：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，雇主对雇员在从事雇佣活动中遭受的人身损害，应当承担赔偿责任。这意味着，如果员工是在正常工作过程中被客户的狗咬伤，老板作为雇主，通常需要承担一定的赔偿责任。

2. 责任限度：然而，老板的责任并不是无限的。如果员工自身存在过错，比如故意挑逗狗或者未按照操作规程行事，那么员工自身也可能需要承担一部分责任。此外，如果客户能够证明其狗咬人是因为员工的不当行为所引发，客户也可能需要承担一定的责任。

分析角度二：客户的责任

1. 动物饲养人责任：根据《中华人民共和国民法典》中关于动物饲养人责任的规定，动物饲养人或者管理人应当对动物造成的损害承担侵权责任。因此，如果客户的狗咬伤了员工，客户原则上应当承担赔偿责任。

2. 责任免除或减轻：同样地，如果客户能够证明员工存在过错，比如故意激怒狗或者未采取必要的防范措施，那么客户的责任可能会得到免除或减轻。

分析角度三：实际处理建议

1. 协商解决：在发生此类事件后，老板、员工和客户可以首先尝试通过协商来解决赔偿问题。这有助于快速、和平地解决纠纷，减少不必要的法律成本和时间成本。

2. 法律途径：如果协商无果，任何一方都可以选择通过法律途径来解决纠纷。员工可以向法院提起诉讼，要求老板和客户承担相应的赔偿责任。法院将根据事实和法律规定来判决各方应承担的责任比例。

特殊情况说明：

• 如果宠物店有明确的规章制度要求员工在接触客户宠物时必须采取特定防范措施，而员工未遵守导致被咬伤，那么员工自身可能需要承担更大责任。
• 如果客户能够证明其狗已经接种了狂犬疫苗且狗平时性格温顺，此次咬人是因为员工突然惊吓导致，那么客户的责任可能会相对较轻。

后续行动建议：

• 老板应尽快与员工和客户沟通，了解事情经过，并收集相关证据（如监控录像、医疗记录等）。
• 老板可以咨询专业律师，了解自身在法律上的权利和义务，以及可能面临的法律责任。
• 如果决定通过法律途径解决纠纷，老板应准备好相关证据材料，并积极配合律师的工作。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。