结论前置：
- 若企业不愿续签且不存在特定免责情形：企业应向劳动者支付经济补偿金，补偿金的计算依据劳动者在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资来确定。
- 若劳动者存在特定免责情形：如严重违反用人单位的规章制度等，企业无需支付经济补偿金。
详细分析：
一、经济补偿的支付条件
根据《劳动合同法》的相关规定，当劳动合同第二次到期，若公司选择不续签，且不存在劳动者严重违反用人单位规章制度等特定情形时，公司应向劳动者支付经济补偿金。这些特定情形包括但不限于：
- 劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的；
- 劳动者严重违反用人单位的规章制度的；
- 劳动者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
- 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
- 劳动者被依法追究刑事责任的。
若劳动者不存在上述情形，企业则需支付经济补偿金。
二、经济补偿的计算标准
经济补偿金的具体计算方式如下：
- 计算基数：经济补偿的月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者工作不满十二个月，则按实际工作的月数计算平均工资。
- 高工资人群限制：若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且最高支付年限不超过十二年。
- 计算年限：经济补偿根据劳动者在本单位工作的年限确定，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
计算公式：
经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（或职工月平均工资三倍，若月工资高于三倍标准）
其中，工作年限和月工资的计算需遵循上述规则。
三、实例说明
假设劳动者在单位工作了4年，月平均工资为7000元（未超过当地上年度职工月平均工资的三倍），那么经济补偿金为：
经济补偿金 = 4 × 7000 = 28000元
若当地上年度职工月平均工资为3000元，三倍为9000元，劳动者月工资12000元，在单位工作10年，由于劳动者月工资高于三倍标准，经济补偿金为：
经济补偿金 = min(10 × 9000, 12 × 当地上年度职工月平均工资的三倍（若存在更高限额则按限额计算）) = 90000元（此处假设未超过更高限额）
四、维权建议
- 沟通协商：劳动者在遇到合同到期不续签的情况时，应首先与公司进行沟通协商，明确公司的态度和理由。
- 保留证据：为确保维权成功，劳动者应保留好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以证明自己的工作年限和工资水平。
- 寻求帮助：若双方无法达成一致，劳动者可以寻求劳动仲裁委员会或人民法院的帮助来维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁或提起诉讼时，需提交相关证据和申请书等材料。
综上所述，当劳动合同第二次到期企业不愿续签时，劳动者有权要求企业支付经济补偿金。具体金额需根据劳动者的工作年限和工资水平来计算。若劳动者遇到此类情况，建议及时咨询并寻求专业法律帮助以维护自己的合法权益。