关于您白天有固定工作，晚上兼职被辞退能否申请赔偿的问题，这主要取决于辞退的原因以及您与兼职单位之间是否建立了劳动关系。以下是我从不同角度为您进行的分析：

1. 如果兼职属于劳务关系：

   • 核心结论：若您与兼职单位之间仅构成劳务关系，而非劳动关系，那么兼职单位辞退您通常不需要支付经济补偿。
   • 法律分析：劳务关系中，双方的权利义务主要由双方协商确定，不受《劳动合同法》的调整。因此，除非双方有特别的约定，否则兼职单位辞退您并不需要支付经济补偿。

2. 如果兼职属于劳动关系：

   • 核心结论：若您与兼职单位之间建立了劳动关系，那么兼职单位辞退您是否需要支付经济补偿，将取决于辞退的原因。
   • 法律分析：
     • 无需支付经济补偿的情形：如果您存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反兼职单位的规章制度、严重失职给兼职单位造成重大损害等，兼职单位可以解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
     • 需要支付经济补偿的情形：如果兼职单位依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同，如您患病或不能胜任工作等，或者双方协商一致解除劳动合同，那么兼职单位需要按照您的工作年限支付经济补偿。经济补偿的计算方式为：每满一年支付一个月工资的标准向您支付，六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。
     • 违法解除劳动合同的情形：如果兼职单位违法解除劳动合同，即没有合法依据而单方面解除与您的劳动关系，那么您有权要求兼职单位支付双倍的经济补偿作为赔偿金。

3. 如何判断兼职是否属于劳动关系：

   • 核心结论：判断兼职是否属于劳动关系，主要看双方是否符合劳动关系的构成要件，如是否存在管理与被管理的关系、是否提供了劳动工具、是否支付了劳动报酬等。
   • 法律分析：劳动关系中，劳动者通常接受用人单位的管理，遵守用人单位的规章制度，为用人单位提供劳动，并由用人单位支付劳动报酬。如果您的兼职工作符合这些特征，那么很可能与兼职单位建立了劳动关系。

建议：

• 如果您不确定与兼职单位之间是否建立了劳动关系，可以收集相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等）来证明。
• 如果您认为兼职单位辞退您存在违法行为，可以先与兼职单位协商解决；协商不成的，可以向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。

希望以上分析能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。