兼职工被辞退能否索赔，这主要取决于辞退的原因以及是否签订了劳动合同或存在事实劳动关系。以下从不同角度为你详细分析：

1. 如果兼职工与用人单位签订了劳动合同或存在事实劳动关系，且用人单位违法辞退：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的计算方式是：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = （工作年限 × 月工资标准（满一年算一个月，不满半年算半个月））× 2。例如，如果兼职工工作了8个月，月工资为5000元，那么经济补偿为5000元（半个月工资，因为不满一年）+ 5000元（按一年算，虽然实际只工作了8个月，但法律上六个月以上不满一年按一年计算，不过此处为说明计算方式，实际应只算半个月至一年的区间内按实际比例或直接按半年以上算一个月，但为简化理解，我们按此示例，实际应调整为只计算应得部分，即此处若严格按法律应为半个月至一年间取合理值，但为说明双倍赔偿概念，暂按此算，实际应算为5000（半个月，若严格按不满半年算）+ 若按更精确算可能涉及月份比例，但此处简化）的“概念性”单倍经济补偿表述对应的实际应得单倍为按工作月份比例或直接法律规定（此处简化说明为按一年算的单倍概念用于演示双倍计算，实际应精确计算工作月份对应的经济补偿）× 实际应得单倍经济补偿（精确计算后）× 2 = 实际应得赔偿金（需精确计算工作年限对应的经济补偿后双倍）。更精确的示例：若工作8个月，月工资5000元，则经济补偿为5000元（按8个月，可视为超过6个月按一定比例或直接法律规定算一个月，此处为简化直接算一个月，实际可能需按月份比例精确计算，但法律通常有六个月以上不满一年按一年算的规定，所以此处算一个月经济补偿），赔偿金则为5000元 × 2 = 10000元。

2. 如果兼职工与用人单位签订了劳动合同或存在事实劳动关系，且用人单位合法辞退：

   • 如果用人单位是依法进行辞退，比如兼职工严重违反用人单位的规章制度、不能胜任工作经过培训或者调整工作岗位仍不能胜任工作等情形，那么用人单位可能不需要支付赔偿金，但可能需要支付经济补偿（具体是否支付及支付金额取决于辞退的具体情形和法律规定）。
   • 在某些合法辞退的情形下，如双方协商一致解除劳动合同，用人单位也可能需要按照《中华人民共和国劳动合同法》的规定支付经济补偿。

3. 如果兼职工与用人单位未签订劳动合同，且不存在事实劳动关系（如只是临时性的、一次性的劳务关系）：

   • 在这种情况下，兼职工可能不被视为劳动者，而是提供劳务的一方。因此，当兼职工被“辞退”（实际上可能是劳务关系的终止）时，可能不适用《中华人民共和国劳动合同法》关于经济补偿或赔偿金的规定。
   • 但是，如果兼职工能够证明与用人单位之间存在事实上的劳务关系，并且因用人单位的原因导致劳务关系提前终止，兼职工可能可以根据《中华人民共和国民法典》中关于合同解除和违约责任的规定，要求用人单位承担相应的民事责任（如赔偿损失等）。

建议：

• 如果你作为兼职工被辞退，首先应当确认自己与用人单位之间是否存在劳动合同或事实劳动关系。
• 如果存在，且你认为用人单位的辞退行为违法，可以收集相关证据（如劳动合同、工作证、工资单、辞退通知等）向当地劳动仲裁机构申请劳动仲裁，要求用人单位支付赔偿金或经济补偿。
• 如果不存在劳动合同或事实劳动关系，你可以考虑与用人单位协商解决，或者根据具体情况向相关部门投诉或寻求法律援助。

希望以上分析能对你有所帮助。如果你有任何进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。