针对您孩子在学校被三个同学摔断两颗门牙，其中一方愿意支付而另一方拒绝赔偿的情况，您可以按照以下步骤来处理：
收集和保留证据：
- 医疗证据：务必保存好孩子就医的所有材料，包括病历、诊断证明、检查报告以及医疗费用发票等。这些材料是证明孩子伤情和费用支出的直接依据。
- 事故现场证据：寻找目击证人，如同学或老师，并获取他们的书面证言。同时，与学校沟通，申请调取事发时的监控视频，以还原事故真相。
与对方及学校沟通协商：
- 与拒绝赔偿的对方家长沟通：保持冷静和理智，向对方家长详细说明事情经过、孩子的伤情以及您的赔偿要求。出示相关证据，争取通过友好协商解决问题。
- 寻求学校协助：向学校老师或管理部门反映情况，请求学校出面组织双方家长进行调解。学校作为教育机构，有管理和保护学生的责任，其介入可能有助于问题的解决。
发送书面索赔函：
- 若沟通协商无果，您可以撰写索赔函，详细陈述事故发生的时间、地点、经过，孩子的受伤情况及已产生的医疗费用等。明确列出赔偿项目和金额，并设定合理的回复期限。
- 索赔函应通过可靠方式（如EMS）送达对方家长，并保留好快递底单作为送达证据。
申请教育部门调解：
- 若学校调解无效，您可以向当地教育部门提出调解申请。提交相关证据材料、索赔函及沟通记录等，配合教育部门的调解工作，如实陈述事实和诉求。
考虑法律途径：
- 起诉准备：若上述步骤均未能解决问题，您可以考虑向法院提起民事诉讼。在起诉前，咨询我（何虎律师）以获取专业的法律建议和诉讼方案。准备起诉状、证据材料等，明确列出诉讼请求和事实理由。
- 诉讼过程：在诉讼过程中，您需要提供证据支持自己的主张，进行辩论等。法院将根据事实和法律规定作出判决。若判决对方赔偿而对方仍不履行，您可以申请法院强制执行。
法律背景与建议：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。造成残疾的，还应当赔偿残疾生活辅助具费和残疾赔偿金。因此，您有权要求对方赔偿孩子因牙齿受伤而产生的所有合理费用。
- 在处理此类纠纷时，务必保持冷静和理智，遵循法律程序逐步推进。同时，重视证据的收集和保存，这是后续主张权利的关键。
可能遇到的法律后果：
- 若对方家长拒绝赔偿且调解无果，您通过法律途径提起诉讼并胜诉后，法院将判决对方赔偿您孩子的相关损失。若对方仍不履行判决，您可以申请法院强制执行，包括查封、扣押、拍卖对方的财产等措施来确保赔偿的到位。
总结与建议：
在处理此类教育机构侵权纠纷时，建议您首先尝试通过沟通协商和调解来解决问题。若这些方式无效，再考虑通过法律途径来维护孩子的合法权益。在整个过程中，务必保持冷静和理智，遵循法律程序逐步推进，并重视证据的收集和保存。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我（何虎律师）咨询。