结论前置：公司没有按终止劳动协议支付经济补偿，不可以直接起诉，一般需要先申请劳动仲裁，对仲裁结果不服的，再向法院提起诉讼。
法律背景与依据
根据我国《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议的处理遵循“仲裁前置”原则。这意味着，在劳动争议发生后，当事人不能直接向人民法院提起诉讼，而是需要先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。只有在对仲裁裁决不服的情况下，才可以向人民法院提起诉讼。这一规定旨在通过仲裁这一相对灵活、快捷的方式，及时、有效地解决劳动争议，减轻当事人的诉累，同时也维护了劳动关系的稳定。
具体分析
仲裁前置的必要性：
- 专业性：劳动争议仲裁委员会由劳动行政部门代表、工会代表和企业方面代表组成，具有处理劳动争议的专业性和权威性。
- 效率性：仲裁程序相对简便、快捷，能够迅速解决劳动争议，避免当事人长时间陷入诉讼纠纷。
- 成本性：仲裁费用相对较低，减轻了当事人的经济负担。
直接起诉的不可行性：
- 法律程序限制：如前所述，根据《劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议必须先经过仲裁程序，对仲裁裁决不服的，才能向人民法院提起诉讼。
- 司法实践：在司法实践中，如果当事人直接向人民法院提起诉讼，法院通常会以“未经仲裁前置程序”为由，裁定不予受理或驳回起诉。
例外情况：
- 虽然一般情况下需要遵循仲裁前置原则，但也存在一些例外情况。例如，如果用人单位拖欠工资、未支付经济补偿等违法行为已经严重侵害了劳动者的合法权益，且劳动者有证据证明用人单位存在恶意拖欠、拒不支付等情形的，劳动者可以向劳动行政部门投诉，由劳动行政部门责令用人单位限期支付。如果用人单位逾期不支付的，劳动行政部门可以责令用人单位按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金。但这种情况并不改变劳动争议仲裁前置的基本原则，只是在特定情况下为劳动者提供了一种更为快捷的救济途径。然而，就您所描述的情况而言，并不直接属于这种例外情形，因此仍需遵循仲裁前置原则。
法律建议
- 收集证据：在申请仲裁前，您需要收集好相关证据，如劳动合同、终止劳动协议、工资单、经济补偿计算依据等，以证明您的主张。
- 申请仲裁：向当地的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并按照仲裁委员会的要求填写相关表格、提交证据材料。
- 参与仲裁程序：在仲裁过程中，您需要积极参与仲裁庭的审理活动，如实陈述事实、提供证据、发表意见等。
- 对仲裁裁决不服的提起诉讼：如果对仲裁裁决不服，您可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
最后，如果您在公司没有按终止劳动协议支付经济补偿的问题上遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。