结论：在您描述的情况下，即使没有签订书面劳动合同，您作为劳动者仍然享有一定的权益。私人口腔科裁人时，您有权要求相应的经济补偿，并可以通过法律途径维护自己的权益。

详细分析：

1. 未签订书面劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，在您工作的一年多时间里，如果口腔科一直未与您签订书面劳动合同，您有权要求口腔科支付未签订劳动合同期间的双倍工资差额。

2. 裁人时的经济补偿：

   • 如果口腔科因为经营需要或其他原因决定裁人，根据《劳动合同法》的规定，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，在您工作一年多的情况下，口腔科应当支付您至少一个月工资的经济补偿。

3. 维权途径：

   • 如果口腔科拒绝支付未签订劳动合同的双倍工资差额或经济补偿，您可以通过劳动仲裁等法律途径来维护自己的权益。劳动仲裁是一种相对快速、有效的解决劳动争议的方式，您可以向当地的劳动仲裁委员会提交仲裁申请，并提供相关证据来支持自己的主张。

4. 注意事项：

   • 在维权过程中，您需要保留好与口腔科存在劳动关系的证据，如工资条、工作证、考勤记录等。这些证据将有助于证明您与口腔科之间的劳动关系以及您的工作年限和工资水平。
   • 同时，您也需要了解劳动仲裁的具体流程和规定，以便更好地准备仲裁申请和参加仲裁庭审。

建议：

• 我建议您先与口腔科进行协商，尝试通过友好沟通的方式解决争议。如果协商无果，您可以考虑向当地的劳动仲裁委员会提交仲裁申请。
• 在准备仲裁申请时，请务必收集好相关证据，并仔细阅读劳动仲裁的相关规定和流程，以确保自己的权益得到充分保障。

如果您在维权过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和指导。