结论：单位在员工违反规章制度时，第一时间不辞退而在一个月后辞退，是否违法需根据具体情况判断，主要看单位辞退的理由是否合法、程序是否合规以及是否超过了合理的处理期限。
分析如下：
辞退理由的合法性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位辞退员工必须基于合法、合理的理由，如员工严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等。
- 如果单位在一个月后辞退员工时，能够证明员工确实存在违反规章制度的行为，并且该行为符合辞退的法定条件，那么辞退行为在理由上是合法的。
辞退程序的合规性：
- 除了辞退理由合法外，用人单位在辞退员工时还需遵循一定的程序，如提前通知员工、听取员工的陈述和申辩、出具书面辞退通知等。
- 如果单位在一个月后辞退员工时，未按照法定程序进行，如未提前通知或未出具书面辞退通知等，那么辞退行为在程序上可能是违法的。
处理期限的合理性：
- 虽然法律并未明确规定用人单位在发现员工违反规章制度后必须在多长时间内进行辞退处理，但用人单位的处理期限应当合理，不能无故拖延。
- 如果单位在发现员工违反规章制度后，长时间不进行处理，而在一个月后突然辞退员工，且无法给出合理的解释或证据证明其处理期限的合理性，那么这种辞退行为可能被视为违法。因为这可能损害了员工的合法权益，如员工可能因此失去了寻找新工作的机会或遭受了其他不必要的损失。
建议：
- 对于员工而言，如果认为单位的辞退行为违法，可以收集相关证据（如工作记录、规章制度、辞退通知等）并向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
- 对于单位而言，在辞退员工时应当严格遵守法律法规和规章制度的规定，确保辞退理由合法、程序合规，并尽量在合理期限内进行处理，以避免不必要的法律纠纷。
可能后果：
- 如果单位的辞退行为被认定为违法，那么单位可能需要支付赔偿金给员工，并可能面临其他法律责任。
- 如果员工的仲裁请求得到支持，那么单位不仅需要支付赔偿金，还可能影响其声誉和未来的招聘工作。
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