结论：在合同期内开始的事情，即使中途合同到期，一般仍可以适用合同约定的仲裁条款，但具体还需根据合同条款内容、争议性质及实际情况综合判断。
分析说明：
合同仲裁条款的独立性：
- 仲裁条款通常被视为合同中的一个独立部分，其效力不受合同其他部分变更、解除或终止的影响。这意味着，即使合同整体到期或终止，仲裁条款仍然有效，双方仍需按照仲裁条款的约定解决争议。
争议发生的时间点：
- 如果争议是在合同期内发生，且该争议与合同内容直接相关，那么即使合同到期后双方才就争议提起仲裁，仲裁条款仍然适用。因为争议的本质是合同履行过程中产生的，仲裁条款作为合同的一部分，自然对这类争议具有约束力。
合同到期后的新争议：
- 如果合同到期后，双方因合同终止后的相关事宜（如结算、清理等）产生争议，且这些事宜在合同中有明确约定（包括仲裁条款），那么这些争议同样可以适用合同中的仲裁条款。
- 但是，如果合同到期后产生的争议与合同内容无直接关联，或者合同中并未就此类争议约定仲裁条款，那么双方可能无法直接依据原合同中的仲裁条款提起仲裁，而需要寻求其他争议解决方式。
实际案例与司法实践：
- 在司法实践中，法院和仲裁机构通常会尊重仲裁条款的独立性，并倾向于认为仲裁条款对合同履行过程中及合同终止后产生的相关争议均具有约束力。当然，这也要根据具体案件情况和合同条款内容来判断。
法律建议：
- 审查合同条款：首先，建议您仔细审查合同中的仲裁条款，明确其适用范围和效力。如果仲裁条款明确约定了适用于合同履行过程中及合同终止后产生的所有争议，那么您就可以放心地依据该条款提起仲裁。
- 咨询专业律师：如果您对仲裁条款的适用范围或效力存在疑问，或者合同中没有明确约定仲裁条款，建议您及时咨询专业律师。律师可以根据您的具体情况和合同条款内容，为您提供专业的法律意见和解决方案。
- 保留相关证据：在提起仲裁前，建议您尽可能保留与争议相关的所有证据和资料，以便在仲裁过程中证明自己的主张和权益。
可能后果：
- 如果双方能够就争议达成仲裁协议，并按照仲裁条款的约定提起仲裁，那么仲裁机构将依法对争议进行审理并作出裁决。裁决具有法律效力，双方必须履行。
- 如果双方无法就争议达成仲裁协议，或者一方拒绝履行仲裁裁决，那么另一方可以向法院提起诉讼或申请强制执行仲裁裁决。