子女私自欠下的养老协议，其法律效力需视具体情况而定，不能一概而论。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：

有效的情况及条件

1. 主体适格且意思表示真实：

   • 签订养老协议的子女必须具备完全民事行为能力，能够清晰理解协议内容并自主表达意愿。
   • 协议必须是双方自愿、真实意愿的体现，不存在欺诈、胁迫等不正当手段。双方应在平等、公平的基础上，经过充分沟通和协商后达成一致。

2. 内容合法合规：

   • 协议内容不得违反国家法律法规的强制性规定，也不得违背社会公德和公共秩序（即公序良俗）。例如，赡养方式、费用分担等约定应符合法律规定的最低标准，不能免除子女的法定赡养义务。
   • 协议应明确约定赡养的具体方式，包括经济供养、生活照料、医疗保健和精神慰藉等方面的内容，以确保老人的基本生活需求得到满足。

3. 征得被赡养人同意：

   • 根据《老年人权益保障法》的相关规定，赡养人之间签订协议必须征得老年人的同意。这是确保协议合法性和有效性的关键条件。

4. 书面形式为宜：

   • 为避免后续纠纷，建议采用书面形式明确双方的权利和义务。书面协议应详细列明赡养方式、费用分担、照顾责任等具体事项，确保内容清晰明了。

无效的情况

1. 违反法律强制性规定：

   • 如果协议内容违反了法律的强制性规定，如免除子女的赡养义务，则该部分或全部协议将被认定为无效。

2. 违背公序良俗：

   • 若协议内容严重违背社会公德和善良风俗，如以不合理条件作为赡养前提，也可能导致协议无效。

3. 存在欺诈、胁迫等情形：

   • 如果一方通过欺诈、胁迫等手段使对方在违背真实意思的情况下签订协议，受欺诈、胁迫的一方有权请求法院或仲裁机构撤销该协议。

4. 未征得被赡养人同意：

   • 如果子女之间私自签订养老协议，未征得被赡养人的同意，那么该协议可能因缺乏被赡养人的真实意愿而无效。

实际操作建议

1. 确保协议合法合规：

   • 在签订养老协议前，应仔细审查协议内容，确保其符合法律法规的规定和公序良俗的要求。

2. 征得被赡养人同意：

   • 必须确保被赡养人同意协议内容，并尽可能让其参与协议的签订过程，以体现其真实意愿。

3. 采用书面形式：

   • 为避免后续纠纷，建议采用书面形式签订养老协议，并明确列明双方的权利和义务。

4. 履行协议义务：

   • 一旦签订协议，双方应严格履行各自义务。如一方未履行相应义务，另一方有权依据协议内容向法院提起诉讼，要求对方承担法律责任。

总结来说，子女私自欠下的养老协议，其法律效力取决于多种因素，包括主体适格性、意思表示真实性、内容合法合规性以及是否征得被赡养人同意等。因此，在签订此类协议时，务必谨慎对待，确保协议的合法性和有效性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。