结论：劳监调解后公司逾期未付工资且已进入强制执行阶段，原则上劳监部门一般不再重复发出限期整改书，但可通过其他方式督促执行或追究责任。以下是具体分析：

1. 劳监调解与强制执行的关系
   劳动监察部门的调解属于行政前置程序，其目的是通过协商快速解决纠纷。若调解后公司仍不履行支付义务，劳动者可向法院申请强制执行。此时，案件已进入司法程序，劳监部门的行政职能（如发出限期整改书）通常已履行完毕，原则上不再重复介入同一事项的行政督促。

2. 劳监部门仍可采取的辅助措施
   虽然限期整改书可能不再适用，但劳监部门仍可通过以下方式协助执行：

   • 监督执行进展：劳监部门可与法院沟通，了解强制执行的具体情况（如公司财产查封、账户冻结等），并要求法院加大执行力度。
     
   • 行政处罚：若公司存在恶意拖欠工资等违法行为，劳监部门可依据《劳动保障监察条例》对其处以罚款、列入失信名单等行政处罚，间接推动执行。
     
   • 移送公安机关：若公司行为涉嫌拒不支付劳动报酬罪（如转移财产、逃匿等），劳监部门可将案件移送公安机关立案侦查。

3. 劳动者的直接救济途径
   在强制执行阶段，劳动者应优先通过法院推进执行程序：

   • 申请恢复执行：若公司有财产但未被执行，可要求法院恢复执行并加大查控力度。
     
   • 追加被执行人：若公司无财产，可申请追加股东、实际控制人等为被执行人（如存在财产混同、抽逃出资等情形）。
     
   • 参与分配：若公司有其他债权人，可申请参与分配公司财产。

建议：您可先联系执行法院了解执行进展，同时向劳监部门反馈公司未履行情况，要求其协助督促或采取行政措施。若公司存在恶意拖欠或转移财产行为，可同步向公安机关报案。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作流程。