事业单位通过抖音发视频是否合法，不能一概而论，需要分情况讨论：
如果视频内容合法合规：
- 事业单位作为法人实体，享有一定的言论自由和信息传播权。通过抖音等社交媒体平台发布视频，是其行使这些权利的一种方式。
- 只要视频内容不违反法律法规，不侵犯他人合法权益（如名誉权、隐私权、肖像权等），不传播虚假信息或谣言，不扰乱社会秩序，那么事业单位通过抖音发视频就是合法的。
如果视频内容违法或侵权：
- 如果事业单位发布的视频内容包含违法信息，如诽谤、侮辱他人，传播淫秽、暴力、恐怖内容，或者侵犯了他人的知识产权、肖像权、隐私权等，那么这种行为就是违法的。
- 在这种情况下，事业单位可能面临法律责任，包括民事赔偿、行政处罚甚至刑事责任。同时，抖音平台也可能根据相关规定对违规账号进行处理，如删除视频、限制发布、封禁账号等。
法律背景与建议：
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》中关于人格权的规定，任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权，不得非法披露、公开他人隐私等。同时，《中华人民共和国网络安全法》、《互联网信息服务管理办法》等法律法规也对网络信息的传播进行了规范。
- 建议：
- 事业单位在通过抖音等社交媒体平台发布视频前，应仔细审查视频内容，确保不违反法律法规和道德规范。
- 如果视频内容涉及他人权益，应事先获得相关权利人的同意或授权。
- 一旦发现发布的视频存在违法或侵权情况，应立即删除并采取措施消除影响，同时积极配合相关部门的调查和处理。
可能面临的法律后果：
- 如果事业单位发布的视频内容违法或侵权，可能面临民事赔偿、行政处罚（如罚款、警告等）甚至刑事责任（如构成诽谤罪、侵犯公民个人信息罪等）。
- 同时，事业单位的声誉和形象也可能受到损害，影响其社会信任度和公信力。
总结与进一步思考：
- 事业单位通过抖音发视频是否合法，关键在于视频内容是否合法合规。因此，事业单位在发布视频前应进行充分的审查和评估。
- 如果您对事业单位通过抖音发视频的具体情况有疑问，或者担心可能存在的法律风险，可以直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供专业的法律意见和帮助。