结论：在工作中受到第三方损伤，即使没有报警，也仍然有可能被认定为工伤。关于赔偿顺序，一般可以先找第三方赔偿，但这并不妨碍你同时申请工伤认定和享受工伤保险待遇。
详细分析：
工伤认定：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。这里的工作原因包括但不限于执行工作任务、从事与工作有关的预备性或者收尾性工作等。
- 在你描述的情况中，即使没有报警，只要你能提供足够的证据证明你是在工作中受到第三方损伤的，比如工作记录、同事证言、现场监控等，就仍然有可能被认定为工伤。
赔偿顺序与关系：
- 第三方赔偿：如果你在工作中受到第三方（如客户、供应商等非公司员工）的损伤，你有权向该第三方要求赔偿。这包括医疗费、误工费、残疾赔偿金等。
- 工伤保险待遇：同时，根据《工伤保险条例》，你也有权享受工伤保险待遇，包括医疗费用报销、伤残津贴、一次性伤残补助金等。这两者并不冲突，你可以同时主张。
- 赔偿顺序：虽然法律上没有明确规定必须先找第三方赔偿还是先申请工伤保险待遇，但从实际操作的角度来看，你可以先尝试与第三方协商赔偿事宜。如果协商不成或者第三方拒绝赔偿，你可以及时申请工伤认定并享受工伤保险待遇。同时，你也可以在申请工伤保险待遇的同时，继续向第三方追偿。
建议与行动：
- 及时报警与取证：虽然你没有报警，但为了后续维权方便，建议尽可能收集并保存相关证据，如现场照片、视频、证人证言等。
- 申请工伤认定：尽快向公司提出工伤认定申请，并按照公司或当地社保部门的要求提交相关材料。如果公司拒绝申请或者拖延申请，你可以自行向当地社保部门提出申请。
- 咨询与维权：在处理过程中，如果你遇到任何法律问题或者需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，为你提供专业的法律建议和维权方案。
额外提醒：工伤认定和赔偿是一个相对复杂的过程，涉及多个法律条款和程序。因此，在处理这类问题时，建议你保持冷静、理性，并尽可能收集并保存相关证据。同时，也要及时咨询专业律师的意见，以确保你的权益得到充分保障。