结论：父亲成为失信被执行人（俗称“老赖”）这一情况，通常不会影响其开具无犯罪记录证明，因为这两者属于不同的法律范畴。

详细分析：

1. 失信被执行人与犯罪记录的区别：

   • 失信被执行人，是指被执行人具有履行能力而不履行生效法律文书确定的义务，并具有下列情形之一的，人民法院应当将其纳入失信被执行人名单，依法对其进行信用惩戒：如以伪造证据、暴力、威胁等方法妨碍、抗拒执行的；以虚假诉讼、虚假仲裁或者以隐匿、转移财产等方法规避执行的等。这主要涉及的是民事执行领域，与刑事犯罪无关。
   • 犯罪记录，则是指某人因犯罪行为被法院判决有罪并留下记录。这通常涉及刑事犯罪，如盗窃、诈骗、故意伤害等。

2. 无犯罪记录证明的开具：

   • 无犯罪记录证明是由公安机关出具的，用于证明某人在一定时期内没有犯罪记录的官方文件。它主要用于证明个人的清白，常用于求职、出国、办理某些行政手续等场合。
   • 由于失信被执行人并不等同于犯罪记录，因此，父亲成为失信被执行人并不会导致其无法开具无犯罪记录证明。

3. 特殊情况考虑：

   • 尽管失信被执行人本身不影响开具无犯罪记录证明，但如果父亲在成为失信被执行人的过程中或之前，有涉及刑事犯罪的行为并被法院判决有罪，那么这将影响其开具无犯罪记录证明。
   • 另外，如果父亲因失信行为被法院采取了某些限制措施（如限制高消费、限制出境等），这些措施本身并不影响开具无犯罪记录证明，但可能会在某些特定场合（如申请签证、办理某些金融业务等）受到限制或影响。

建议：

• 如果您或您的父亲需要开具无犯罪记录证明，只需按照当地公安机关的要求提供相关材料并申请即可。
• 如果您对父亲成为失信被执行人的情况有疑问或需要法律帮助，比如如何解除失信状态、如何应对执行措施等，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。