在工程质量存在问题的情况下，未付工程款是否支付利息，需分情况讨论：
合同有明确约定：
- 如果建设工程合同中明确约定了工程款支付的时间、条件以及逾期支付的利息计算方式，那么无论工程质量是否存在问题，发包方都应按照合同约定支付未付工程款的利息。这是因为合同是双方意思表示一致的产物，具有法律约束力，双方都应按照合同约定履行各自的义务。
合同无明确约定，但工程质量问题由承包方造成：
- 如果合同中没有明确约定逾期支付工程款的利息，且工程质量问题是由承包方造成的，那么发包方有权拒绝支付或要求减少支付未付工程款的利息。因为承包方未能按照合同约定提供符合质量要求的工程，构成违约，发包方有权采取相应的救济措施，包括拒绝支付或减少支付利息。但需要注意的是，发包方拒绝支付或减少支付利息的权利并非绝对，如果工程质量问题并不影响工程的使用功能或安全性，或者承包方已经采取了合理的补救措施，发包方可能仍需支付一定的利息。
合同无明确约定，且工程质量问题非承包方造成：
- 如果合同中没有明确约定逾期支付工程款的利息，且工程质量问题并非由承包方造成（例如，是由于设计缺陷、材料供应问题或不可抗力等因素导致的），那么发包方仍应支付未付工程款的利息。因为在此情况下，承包方已经按照合同约定履行了施工义务，工程质量问题并非其过错所致，发包方无权因此拒绝支付或减少支付利息。
法律背景与建议：
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，当事人应当按照约定全面履行自己的义务。如果一方未按照约定履行义务，给对方造成损失的，应当承担赔偿责任。在建设工程合同中，发包方未按照约定支付工程款，给承包方造成损失的（包括利息损失），应当承担赔偿责任。
- 建议：为了避免因工程质量问题引发的工程款支付纠纷，建议双方在签订建设工程合同时，明确约定工程款支付的时间、条件以及逾期支付的利息计算方式。同时，在施工过程中，双方应严格按照合同约定履行各自的义务，确保工程质量符合合同要求。如果发生纠纷，双方应首先通过协商解决；协商不成的，可以依法向人民法院提起诉讼或申请仲裁。
可能法律后果：
- 如果发包方拒绝支付或减少支付未付工程款的利息，且承包方认为其合法权益受到侵害的，承包方有权依法向人民法院提起诉讼或申请仲裁，要求发包方支付相应的利息。如果法院或仲裁机构认定发包方确实存在违约行为，且承包方的请求合理合法，那么发包方将需要承担支付利息的法律责任。
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