结论前置：幼儿园保育员没有签合同且突然被辞退，保育员有权要求幼儿园支付未签合同的双倍工资差额、经济补偿或赔偿金，并可以要求补缴社会保险。具体权益需根据保育员在幼儿园的工作年限、是否提前通知以及是否存在违法辞退行为等因素确定。

一、未签订劳动合同的法律后果与补偿

1. 支付双倍工资：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 实际应用：例如，若保育员在幼儿园工作了8个月但未签订劳动合同，则从第2个月起至第8个月，幼儿园应每月支付双倍工资。计算公式为：双倍工资差额 = 月工资 × (工作月数 - 1)。若月工资为5000元，则双倍工资差额为5000元 × 7 = 35000元。

2. 视为订立无固定期限劳动合同：

   • 法律依据：若保育员在幼儿园连续工作满1年仍未签订合同，则法律上视为双方已订立无固定期限劳动合同。
   • 实际意义：这意味着幼儿园不能随意辞退保育员，否则将面临违法辞退的法律责任。

二、无故辞退的法律后果与补偿

1. 经济补偿：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
   • 实例说明：若保育员在幼儿园工作了1年3个月后被无故辞退，应获得1.5个月工资的经济补偿。计算公式为：经济补偿 = 月工资 × 工作年限（不足半年按0.5计算）。若月工资为5000元，则经济补偿为5000元 × 1.5 = 7500元。

2. 经济赔偿（违法辞退）：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同的，需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 实例说明：若保育员在幼儿园工作了2年被无故辞退，由于这是违法辞退，因此应获得4个月工资的赔偿金。计算公式为：赔偿金 = 经济补偿 × 2。若经济补偿为10000元（假设月工资为5000元，工作2年），则赔偿金为10000元 × 2 = 20000元。

3. 代通知金：

   • 法律依据及实践：如果幼儿园没有提前三十日以书面形式通知保育员解除劳动合同，还需额外支付一个月工资的代通知金。

三、其他补偿与社会保险

• 幼儿园还应为保育员足额补缴在职期间应缴纳而未缴纳的社会保险等费用。

四、维权途径

• 若幼儿园拒绝支付相应补偿，保育员可以向当地劳动仲裁机构提起仲裁申请，通过法律途径维护自己的合法权益。劳动仲裁机构会依据双方提供的证据进行公正裁决。

五、建议与注意事项

1. 收集证据：

   • 保育员在维权过程中应收集并保留与幼儿园存在劳动关系的证据，如工作证明、工资支付记录、考勤记录等。

2. 提前通知与工作交接：

   • 若保育员打算离职，应提前通知幼儿园并做好工作交接，确保幼儿园的正常运营不受影响。但在此案例中，由于保育员是被辞退，因此无需主动通知，但仍需配合完成工作交接。

3. 咨询专业律师（此处为引导性说明，实际回答中不直接出现）：

   • 在处理此类劳动纠纷时，建议保育员咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。不过，作为喻燕立律师，我可以直接为你提供这方面的法律咨询。

总结：幼儿园保育员没有签合同且突然被辞退，保育员有权要求幼儿园支付未签合同的双倍工资差额、经济补偿或赔偿金，并可以要求补缴社会保险。具体权益需根据保育员在幼儿园的工作年限、是否提前通知以及是否存在违法辞退行为等因素确定。若遇到此类问题，保育员应及时通过法律途径维护自己的权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。