针对您提出的“八九十岁老人突然去世，其名下的银行存款凭书面遗嘱是否可以支取”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，老人去世后，其名下的银行存款应当依法进行支取。这涉及到继承法的相关规定以及银行的具体操作流程。
一、书面遗嘱的效力
如果老人去世前留下了合法有效的书面遗嘱，并且遗嘱中明确指定了存款的继承人或受遗赠人，那么这份遗嘱在法律上是具有效力的。但是，仅凭遗嘱本身，并不能直接支取存款。
二、支取存款的具体流程
小额存款简化提取：
- 根据国家金融监督管理总局、中国人民银行联合发布的《关于优化已故存款人小额存款提取有关要求的通知》，如果已故存款人在同一法人银行业金融机构的账户余额合计不超过5万元人民币，继承人无需提交公证书，只需提交能够证明已故存款人死亡事实的材料、提取申请人的有效身份证件、提取申请人亲笔签名的承诺书，以及居民户口簿、结婚证、出生证明等能够证明亲属关系的材料，或指定提取申请人为已故存款人的继承人或受遗赠人的公证遗嘱，就可以一次性提取已故存款人存款及利息。
大额存款或存在争议的情况：
- 如果存款金额超过5万元，或者继承人之间对存款的继承权或继承份额存在争议，那么就需要通过法定继承方式来继承存款。
- 在这种情况下，继承人需要先办理继承权公证，证明自己是合法继承人并享有提取该项存款的权利。公证过程中，可能需要提供老人的死亡证明、亲属关系证明、遗嘱（如果有的话）等相关材料。
- 办理完继承权公证后，继承人可以持公证书、老人死亡证明等材料，前往银行支取存款。
三、特殊情况的处理
- 如果老人去世前没有留下遗嘱，或者遗嘱无效，那么就需要按照法定继承顺序来继承存款。这通常涉及到配偶、子女、父母等第一顺序继承人的协商或诉讼。
- 如果老人去世后，其账户中汇入了丧葬费、抚恤金等特殊款项，这些款项不计入5万元的账户限额，可以全额简化提取。但需要提供相关证明材料，如丧葬费、抚恤金的发放通知等。
四、建议与提醒
- 在处理老人去世后的银行存款问题时，建议家属先保持冷静，不要急于注销老人的身份证或销毁相关材料。
- 如果对继承流程或法律规定不熟悉，可以咨询专业的律师或法律机构，以确保自己的权益得到保障。
- 在与银行沟通时，提供完整、准确的材料和信息，以便银行能够顺利办理存款支取手续。
综上所述，八九十岁老人突然去世后，其名下的银行存款能否凭书面遗嘱支取，取决于存款金额的大小以及继承人之间是否存在争议。如果符合小额存款简化提取的条件，并且遗嘱合法有效，那么可以较为简便地支取存款；否则，需要通过法定继承方式来继承存款。