结论：员工长期故意不搞干净厕所且被多次投诉，用人单位是否可以开除该员工，需根据具体情况判断，若该行为严重违反公司规章制度或劳动纪律，用人单位可以依法解除劳动合同；若未达到严重程度，则不能直接开除，但可采取其他管理措施。
分析说明：
从规章制度角度：
- 用人单位通常会在规章制度中明确员工应遵守的劳动纪律和岗位职责，包括工作区域的清洁卫生要求。
- 如果员工长期故意不搞干净厕所，且这一行为被明确规定为严重违反公司规章制度的行为，那么用人单位在提供充分证据的情况下，可以依据规章制度解除与该员工的劳动合同。
从劳动纪律角度：
- 劳动纪律是劳动者在劳动过程中应遵守的基本规则和秩序。
- 员工长期故意不搞干净厕所，且被多次投诉，可能构成对劳动纪律的严重违反，尤其是当这一行为影响到公司正常运营秩序或其他员工的工作环境时。
- 在此情况下，用人单位有权依据劳动纪律的相关规定，对员工进行纪律处分，包括解除劳动合同。
从解除劳动合同的合法性角度：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须基于合法、合理的事由，并遵循法定程序。
- 如果员工的行为未达到严重违反规章制度或劳动纪律的程度，用人单位直接开除员工可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任。
- 因此，在决定开除员工前，用人单位应谨慎评估员工行为的严重性，并确保解除劳动合同的合法性和合理性。
行动建议：
- 审查规章制度：用人单位应首先审查其规章制度中是否明确规定了员工应遵守的清洁卫生要求，以及违反这些要求可能面临的纪律处分。
- 收集证据：用人单位应收集员工长期故意不搞干净厕所且被多次投诉的证据，如投诉记录、监控录像、证人证言等。
- 评估行为严重性：用人单位应评估员工行为的严重性，判断其是否构成严重违反规章制度或劳动纪律。
- 依法处理：如果员工行为确实构成严重违反规章制度或劳动纪律，用人单位可以依法解除劳动合同；如果未达到严重程度，用人单位可以考虑采取其他管理措施，如警告、罚款、调岗等。
后续思考依据：在处理此类问题时，用人单位应充分考虑员工行为的性质、后果以及公司规章制度和劳动纪律的相关规定，确保处理结果的合法性和合理性。同时，用人单位也应加强员工培训和管理工作，提高员工的职业素养和责任意识，减少类似问题的发生。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。