针对您提出的“和工厂没有劳动合同因为做错了工作被辞退怎么赔偿”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，即使您和工厂没有签订劳动合同，但只要您实际上在工厂工作，就形成了事实上的劳动关系，您的权益依然受到法律的保护。
一、关于未签订劳动合同的赔偿
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果工厂自用工之日起超过一个月不满一年未与您订立书面劳动合同，那么工厂需要向您支付双倍工资。这个双倍工资的计算时段是从用工满一个月的次日开始，一直到补订书面劳动合同前一日结束，但最长不会超过11个月。也就是说，如果工厂在这段时间内没有与您签订劳动合同，那么您有权要求工厂支付这段时间内已发工资外加一倍作为赔偿。
二、关于辞退员工的赔偿
接下来，我们需要看工厂辞退您的原因。如果是因为您做错了工作，但这个错误并不构成严重违反工厂规章制度或严重失职等法定过错情形，那么工厂辞退您可能构成违法解除劳动合同。在这种情况下，根据《劳动合同法》的规定，工厂需要按照经济补偿标准的二倍向您支付赔偿金。经济补偿的计算方式是按照您在工厂工作的年限，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。这里的“月工资”是指您在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包括绩效奖金、加班工资等应得收入。
如果您的错误确实构成了严重违反工厂规章制度或严重失职等法定过错情形，那么工厂辞退您可能是合法的。在这种情况下，工厂虽然无需支付经济补偿，但仍然需要支付您未签合同的双倍工资差额。
三、员工维权途径与建议
与工厂协商：首先，您可以尝试与工厂进行沟通协商，要求工厂支付相应的赔偿。
收集证据：在协商过程中，您需要保留好工资条、工作证、考勤记录等相关证据，以备后续使用。
向劳动监察部门投诉：如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，由其进行调查处理。
申请劳动仲裁：如果问题仍未得到解决，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求工厂支付各项赔偿。
提起诉讼：如果您对仲裁结果不满意，还可以向人民法院提起诉讼。
法律咨询：在整个过程中，我建议您寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保护。
综上所述，即使您和工厂没有签订劳动合同，但因为做错了工作被辞退时，您仍然有权根据法律规定要求工厂支付相应的赔偿。希望这些解答能够帮助到您，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。