核心结论：未签订书面合同但存在部分付款记录时，您仍可通过法律途径主张权利，但需结合其他证据形成完整证据链。以下是具体分析：

1. 付款记录的法律效力

• 付款记录（如转账凭证、收据、发票等）是证明合同关系存在的重要证据，尤其当对方未否认收款事实时。
• 根据《民法典》第四百六十九条，书面合同并非唯一形式，口头合同或其他形式（如实际履行行为）也可成立合同关系。付款记录可视为对合同关系的实际履行证明。

2. 需补充的其他证据

• 沟通记录：微信、短信、邮件等聊天记录中提及的交易内容（如价格、数量、交付时间等）。
• 履行行为：如货物交付单、服务完成证明、验收报告等。
• 证人证言：第三方见证人或共同参与人的陈述。
• 行业惯例：若交易符合行业常规，可引用惯例辅助证明。

3. 法律风险与应对建议

• 对方否认合同关系：若对方主张付款为其他性质（如借款、赠与），需通过证据反驳。例如，转账备注“货款”或聊天记录中明确交易目的。
• 诉讼时效：注意主张权利的时效（一般为3年），避免因超期丧失胜诉权。
• 建议步骤：
  1. 整理所有付款记录及关联证据；
  2. 向对方发送书面催款函（留存邮寄凭证）；
  3. 若协商无果，可向法院起诉，主张合同关系成立并要求履行义务或赔偿损失。

4. 特殊情形提示

• 定金与预付款：若付款性质为定金，可主张双倍返还；若为预付款，则按未履行部分主张退款。
• 无效合同：若合同因违法（如买卖违禁品）无效，付款可能需返还，但过错方需承担赔偿责任。

行动建议：立即整理所有相关证据，并可进一步向我提供具体交易细节（如行业、金额、争议点等），以便为您定制诉讼策略或协商方案。