结论：孩子的抚养权不能通过由姥姥抚养的方式直接“脱离”与父亲的关系，父亲有案底并不必然导致其丧失抚养权，但可能成为法院判决抚养权归属时的考量因素之一。

详细分析：

1. 抚养权与亲属关系的法律性质：

   • 抚养权是父母对子女的一项基本权利，同时也是一项义务。它基于血缘关系或法律关系（如收养）而产生，不能通过简单的协议或安排来“脱离”。
   • 即使孩子由姥姥抚养，这并不改变孩子与父亲之间的血缘关系和法律上的父子关系。父亲仍然对孩子负有抚养、教育、保护等义务。

2. 父亲有案底对抚养权的影响：

   • 父亲有案底并不直接导致其丧失抚养权。法院在判决抚养权归属时，会综合考虑多种因素，包括但不限于父母的经济状况、个人品质、与子女的感情联系、子女的年龄和性别、父母的抚养能力和条件等。
   • 如果父亲的案底涉及对子女的虐待、遗弃、暴力等严重行为，或者父亲因犯罪被判处长期监禁，无法履行抚养义务，那么这些情况可能成为法院判决抚养权归属时的重要考量因素，甚至可能导致父亲丧失抚养权。

3. 姥姥抚养孩子的法律地位：

   • 姥姥作为孩子的外祖母，可以在父母无法履行抚养义务时，承担起抚养孩子的责任。但这并不意味着姥姥取代了父亲的法律地位，也不意味着孩子与父亲的关系被“脱离”。
   • 如果姥姥希望正式获得孩子的抚养权，需要通过法律程序，如向法院提起变更抚养权诉讼，并证明自己更适合抚养孩子。

4. 可能的法律后果与建议：

   • 如果父亲有案底，但并未对子女造成实质性伤害，且有能力履行抚养义务，那么法院可能不会轻易改变抚养权的归属。
   • 如果姥姥希望抚养孩子，并认为父亲不适合继续抚养，可以收集相关证据（如父亲的案底记录、对子女的态度和行为等），向法院提起变更抚养权诉讼。
   • 在诉讼过程中，法院会依法进行审理，并根据子女的最佳利益原则作出判决。

进一步思考：

• 抚养权问题涉及子女的切身利益和未来发展，因此法院在判决时会非常谨慎。除了考虑父母的情况外，还会充分听取子女的意见（如果子女足够成熟和有能力表达自己的意愿）。
• 如果您或您的家人面临抚养权纠纷问题，建议及时咨询专业律师，了解具体的法律程序和策略，以便更好地维护自己的合法权益和子女的利益。

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