结论：刑事拘留第37天检察院不捕，第二天公安机关取保候审，刑事拘留并未超期。以下从法律依据、流程说明及后续注意事项三个角度为你详细分析：
一、法律依据
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条的规定：
- 公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
- 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
- 人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
- 人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。
二、流程说明
拘留期限：
- 在一般情况下，公安机关对被拘留人的拘留期限为3日，特殊情况可延长至7日。
- 对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，拘留期限可延长至30日。加上检察院审查批准的7日时间，最长可达37日。
不批捕后的处理：
- 如果检察院在第37天作出不批准逮捕的决定，公安机关应立即释放被拘留人。
- 若案件仍需继续侦查，且被拘留人符合取保候审条件，公安机关会依法为其办理取保候审手续。这就是你提到的“第二天公安机关取保候审”的情况。
取保候审的条件：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条，取保候审适用于可能判处较轻刑罚、不致发生社会危险性，或存在特殊情形（如严重疾病、怀孕等）的犯罪嫌疑人、被告人。
三、后续注意事项
配合调查：
- 取保候审并非案件终结，侦查机关仍会继续调查。在此期间，你应严格遵守相关规定，如不离开居住地、及时报到等，并积极配合公安机关的补充侦查工作。
证据收集与辩护准备：
- 建议委托律师调取有利证据（如不在场证明、证人证言等），并通过律师与办案机关沟通，了解案件进展并提交书面意见。
行为约束：
- 禁止干扰证人作证或串供，不得伪造、毁灭证据。同时，避免再次违法犯罪，以免触发保证金没收或收监程序。
关注案件走向：
- 取保候审后，案件可能走向撤销案件、移送起诉或不起诉决定等不同结果。你应定期与律师沟通案件动态，及时调整辩护策略。
总结与建议：刑事拘留第37天检察院不捕，第二天公安机关取保候审，是符合法律规定的正常流程。在此期间，你应严格遵守取保候审的相关规定，并积极配合公安机关的调查工作。同时，建议委托专业律师为你提供法律帮助，以更好地维护你的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。