关于“驳回诉讼请求的行政处罚申请强制执行的时间”问题，需分情况讨论，核心结论如下：

1. 若行政诉讼申请被驳回，通常不存在直接基于此驳回申请的强制执行问题
   行政诉讼被驳回意味着法院未支持当事人的诉讼请求，此时若需强制执行，需回归到原行政处罚决定的合法性及执行程序。若原行政处罚决定已生效（即当事人未在法定期限内申请复议或提起诉讼，且已过履行期），行政机关可依法申请强制执行，但需注意时间限制。

2. 行政机关申请强制执行的时间限制
   根据《中华人民共和国行政强制法》第五十三条，若当事人在法定期限内既不申请行政复议、不提起行政诉讼，也不履行行政决定，没有行政强制执行权的行政机关需在法定期限届满之日起三个月内申请法院强制执行。

   • 法定期限计算：
     
     • 申请行政复议的期限：自知道行政行为之日起60日内（特殊规定除外）；
       
     • 提起行政诉讼的期限：自知道或应当知道行政行为之日起6个月内（特殊规定除外）。
       
   • 示例：若行政机关于2024年1月1日作出行政处罚决定，当事人未在60日内申请复议，也未在6个月内提起诉讼，则行政机关可在2024年7月1日至2024年10月1日期间申请强制执行。

3. 若行政诉讼被驳回后，行政机关需重新申请强制执行
   若原行政处罚决定曾因诉讼被中止执行，诉讼被驳回后，行政机关需重新启动强制执行程序。此时：

   • 若原处罚决定已生效（即诉讼期间未中止其效力），行政机关可直接申请执行，但仍需遵守上述“三个月”期限（从诉讼驳回裁定生效之日起算）；
     
   • 若诉讼期间原处罚决定被中止执行，需待诉讼驳回裁定生效后，重新催告当事人履行义务，并在催告期满后申请执行。

4. 特殊情形：行政机关有自行强制执行权
   若法律赋予行政机关自行强制执行权（如税务机关对欠税的强制执行），则无需申请法院，但需遵循法定程序（如催告、公告等），且时间限制可能由具体法律另行规定。

法律建议：

• 对行政机关：
  
  1. 严格把握申请强制执行的期限，避免逾期丧失申请权；
     
  2. 在诉讼期间若需中止执行，及时向法院申请并留存证据；
     
  3. 诉讼被驳回后，若需重新申请执行，务必重新履行催告程序。
     
• 对当事人：
  
  1. 若对行政处罚不服，务必在法定期限内申请复议或提起诉讼，以中止强制执行程序；
     
  2. 诉讼被驳回后，若认为原处罚决定违法，可通过申诉或申请再审寻求救济，但再审期间一般不停止执行。

可能后果：

• 若行政机关逾期申请强制执行，法院将不予受理；
  
• 若当事人未在法定期限内行使救济权利，可能面临强制执行风险。

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体案情提供详细分析。