关于法院判决驳回原告诉讼请求后，行政机关申请法院强制执行的期限问题，以下是我的详细解答：
结论：如果当事人的行政诉讼申请被法院驳回，且当事人在法定期限内既不提起行政诉讼又不履行行政决定，行政机关可以在一定期限内申请法院强制执行。这个期限是自行政复议和行政诉讼的法定期限届满之日起三个月内。
详细解释：
行政诉讼申请被驳回后的基本情况：
- 当行政诉讼申请被法院驳回时，通常意味着该申请未获得法院的支持。因此，不存在基于此被驳回申请的强制执行问题。
- 然而，如果当事人在行政行为作出后，在法定期限内既不提起行政诉讼又不履行行政决定，行政机关则有权依法申请法院强制执行。
行政机关申请法院强制执行的期限：
- 根据《中华人民共和国行政强制法》第五十三条的规定，当事人在法定期限内不申请行政复议或提起行政诉讼，且不履行行政决定的，没有行政强制执行权的行政机关可以在期限届满之日起三个月内，向人民法院申请强制执行。
- 这里的“期限届满之日”指的是行政复议和行政诉讼的法定期限届满之日。一般来说，直接提起诉讼的法定期限为六个月，申请行政复议的法定期限为六十日。因此，行政机关通常可以在这些期限届满后的三个月内向法院申请强制执行。
举例：
- 假设行政机关于2024年1月1日作出行政处罚决定，并告知当事人救济权利和期限。如果当事人既未在60日内申请行政复议，也未在6个月内提起行政诉讼，那么行政机关可以在2024年7月1日至2024年10月1日期间申请法院强制执行。
后续处理：
- 如果行政机关的强制执行申请被法院驳回，行政机关可以在收到裁定书之日起十五日内向上一级人民法院申请复议。
- 行政机关还可以根据相关法律、法规的规定，采取其他适当的措施来处理原行政行为所涉及的问题。
综上所述，行政机关在申请法院强制执行时，应严格遵守相关法律规定和程序要求，确保行政行为的合法性、合理性和必要性，以及强制执行程序的规范性和有效性。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。