关于行政机关驳回诉讼请求的判决申请执行的期限问题，需要分情况讨论：
若行政机关的强制执行申请被法院驳回后的复议申请执行期限：
- 根据相关法律规定，若行政机关的强制执行申请被法院驳回，行政机关可以在收到裁定书之日起十五日内向上一级人民法院申请复议。上一级人民法院将在收到复议申请之日起三十日内进行审查，并作出是否执行的裁定。这是行政机关在申请被驳回后，寻求上级法院审查并可能获得执行许可的一个重要途径。
若行政机关申请法院强制执行原行政决定的期限（此情况虽非直接回答“驳回诉讼请求后的申请执行期限”，但为全面理解问题背景，特此说明）：
- 根据《中华人民共和国行政强制法》第五十三条的规定，当事人在法定期限内不申请行政复议或者提起行政诉讼，又不履行行政决定的，没有行政强制执行权的行政机关可以自期限届满之日起三个月内，依照本章规定申请人民法院强制执行。这里的“期限届满之日”指的是行政复议和行政诉讼的法定期限届满之日，一般为六个月（直接提起诉讼）或六十日（申请行政复议）后的日期。例如，若行政机关于2024年1月1日作出行政处罚决定，并告知救济权利和期限，而当事人既未在60日内申请行政复议，也未在6个月内提起行政诉讼，则行政机关可在2024年7月1日至2024年10月1日期间申请法院强制执行。
若涉及行政判决的申请执行期限（此情况针对的是行政判决而非驳回申请后的执行，但为提供全面信息，特此补充）：
- 行政判决申请执行的期限根据申请人身份的不同而有所区别。公民为1年，行政机关、法人或其他组织为180日（或统一表述为6个月），均自法律文书规定的履行期间最后一日起算；若法律文书中未规定履行期限，则从该法律文书送达当事人之日起计算。特殊情况下，因不可抗力或其他正当理由耽误的期限可申请顺延，但需由人民法院决定。
针对您问题的直接回应：
- 若您指的是行政机关在强制执行申请被法院驳回后，向上一级法院申请复议并寻求执行裁定的期限，那么是收到驳回裁定书之日起十五日内申请复议，上一级法院在收到复议申请之日起三十日内作出裁定。
- 若您的问题背景更侧重于行政机关在当事人不履行行政决定且未提起复议或诉讼后，申请法院强制执行的原始期限，那么是自法定期限届满之日起三个月内。
建议：
- 在处理此类法律问题时，行政机关应密切关注相关期限，确保在法定期限内采取行动，以避免丧失申请执行或复议的权利。
- 如有任何疑问或需要进一步的法律指导，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。