结论：厂里因您请假照顾发烧小孩一天而将您开除，这一行为很可能构成违法解除劳动合同，您有权要求厂里承担相应的法律责任。
法律背景与依据：
劳动合同的解除条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同必须符合法定条件，如劳动者严重违反用人单位的规章制度、严重失职或营私舞弊给用人单位造成重大损害等。
- 仅因劳动者请假一天（且请假事由为照顾生病小孩，属于合理事由）而解除劳动合同，显然不符合法定解除条件。
违法解除劳动合同的法律后果：
- 如果用人单位违法解除劳动合同，劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付赔偿金。
- 赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍，经济补偿金根据劳动者在用人单位的工作年限和月工资水平计算。
具体分析与建议：
收集证据：
- 您应尽快收集与厂里存在劳动关系的证据，如劳动合同、工资条、工作证等。
- 同时，收集厂里开除您的相关证据，如开除通知、聊天记录、录音等。
与厂里协商：
- 在收集到足够证据后，您可以尝试与厂里进行协商，要求厂里撤销开除决定，恢复您的劳动关系，或者支付相应的赔偿金。
申请劳动仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求厂里承担违法解除劳动合同的法律责任。
- 在申请劳动仲裁时，您需要提交仲裁申请书、相关证据材料等。
提起诉讼：
- 如果对劳动仲裁结果不满意，您还可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼，要求法院判决厂里承担相应的法律责任。
可能遇到的法律问题及应对：
- 厂里主张您违反规章制度：如果厂里主张您违反了其规章制度而开除您，您需要核实该规章制度是否合法有效，以及您是否确实违反了该规章制度。如果规章制度不合法或您未违反，则厂里的开除决定仍然违法。
- 赔偿金计算问题：在计算赔偿金时，您需要确定自己的工作年限和月工资水平。如果厂里拒绝提供相关信息，您可以通过银行流水、工资条等证据来证明自己的月工资水平。
后续行动建议：
- 在处理此事过程中，保持冷静和理性，避免与厂里发生不必要的冲突。
- 及时咨询专业律师（即我，程韦伟律师，专注于经济纠纷、刑事辩护、婚姻家庭、合同纠纷、劳动纠纷、交通事故领域），以获取更具体的法律建议和帮助。
- 密切关注劳动仲裁或诉讼的进展，及时准备和提交相关证据材料。