结论：教师被判处缓刑10个月，单位并非必须开除，但存在被开除的可能性，具体取决于单位性质、规章制度以及教师行为是否符合解除劳动合同或开除的法定条件。以下分情况详细说明：

一、单位性质影响处理方式

1. 公立学校（事业单位）
   根据《事业单位工作人员处分暂行规定》第22条，事业单位工作人员被依法判处刑罚的，给予降低岗位等级或者撤职以上处分。其中，被依法判处有期徒刑以上刑罚的，给予开除处分。但缓刑属于刑罚执行方式，并非独立刑种，需结合原判刑罚类型判断：

   • 若原判刑罚为有期徒刑（即使缓刑），单位通常应开除；
     
   • 若原判刑罚为拘役（缓刑），单位可给予降低岗位等级或撤职处分，不必然开除。
     例外情形：若教师因过失犯罪被判缓刑，且符合《事业单位工作人员处分暂行规定》第14条“主动交代违法违纪行为、配合调查、挽回损失”等从轻情节，单位可能酌情不开除。

2. 私立学校（民办非企业单位/企业）
   私立学校与教师属于劳动合同关系，解除合同需依据《劳动合同法》第39条。若教师被追究刑事责任（包括缓刑），单位有权单方解除劳动合同，但非“必须”开除。实践中，单位可能综合考虑以下因素决定是否开除：

   • 犯罪性质（如故意犯罪 vs 过失犯罪）；
     
   • 犯罪与教学工作的关联性（如性侵学生 vs 交通肇事）；
     
   • 社会影响（如媒体曝光、家长抗议）；
     
   • 教师过往表现及悔改态度。

二、关键法律程序与证据

1. 单位需以“生效刑事判决”为依据
   若教师仅被采取刑事强制措施（如取保候审）或一审未生效，单位不得擅自开除。必须待法院判决生效后，方可依据判决结果处理。

2. 教师有权申诉或仲裁
   若教师认为单位开除决定违法（如未履行工会程序、未说明理由），可依据《事业单位工作人员申诉规定》或《劳动争议调解仲裁法》申请复核、申诉或仲裁，要求撤销开除决定或赔偿。

三、实务建议

1. 对教师：

   • 保留判决书、单位处分决定等证据；
     
   • 若认为开除违法，及时咨询律师申请救济；
     
   • 主动表达悔改态度，争取单位从轻处理。

2. 对单位：

   • 严格依据生效判决和规章制度处理；
     
   • 履行民主程序（如经教职工代表大会讨论）和告知义务；
     
   • 平衡法律风险与社会影响，避免因开除引发舆论争议。

总结：缓刑10个月不直接等同于“必须开除”，但教师需做好被开除的心理准备。具体结果需结合单位性质、犯罪情节及单位规章制度综合判断。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件处理方案。