针对您提出的“猫把别人抓伤了，对方不要赔偿，怎么感谢”这一问题，这其实是一个涉及人情世故与社交礼仪的温馨场景。虽然对方不要赔偿，但您的感激之情仍可以通过一些恰当的方式来表达。以下是我为您精心整理的建议：

一、明确感谢的心意

首先，要真诚地认识到对方的大度与宽容，明确自己想要表达感谢的心意。这是后续所有行动的基础，也是建立良好人际关系的关键。

二、选择合适的感谢方式

1. 口头表达：

   • 最直接且有效的方式是当面或通过电话向对方表达感谢。可以说：“真的非常感谢您的大度，我家猫给您添了麻烦，您还不要赔偿，我真的很过意不去，也非常感激。”

2. 书面感谢：

   • 如果觉得口头表达不够充分，可以写一封感谢信或卡片，详细描述自己的感激之情，以及对方行为对自己的影响。这种方式更加正式且持久，能让对方感受到您的真诚。

3. 小礼物表达心意：

   • 根据对方的喜好和实际情况，选择一份小礼物作为感谢。可以是对方喜欢的书籍、花卉、手工艺品等，也可以是实用的生活用品。重要的是礼物要体现出您的用心和关怀。

4. 实际行动回馈：

   • 如果对方有需要帮助的地方，您可以主动伸出援手，用实际行动来回馈对方的善意。比如，帮助对方解决一些生活中的小问题，或者提供一些有用的信息和资源。

三、注意感谢的时机与场合

• 选择一个合适的时机和场合来表达感谢，能让对方更加感受到您的诚意。比如，在对方方便的时候约个时间见面，或者在一个轻松愉快的氛围中表达感谢。

四、保持后续联系

• 感谢不仅仅是一次性的行为，更是建立长期良好关系的开始。在表达感谢后，可以保持与对方的联系，偶尔问候或分享生活中的点滴，让这份善意得以延续。

附加建议：

• 在处理此类事件时，除了表达感谢外，也要反思自己的责任。确保以后更好地管理自己的宠物，避免类似事件再次发生。
• 如果对方确实因为您的猫而受到了惊吓或不便，即使不要赔偿，您也可以主动提出一些补偿方式，如帮助对方打扫卫生、提供一些宠物相关的知识或建议等，以减轻对方的负担。

总之，感谢是一种美德，也是建立良好人际关系的重要方式。在对方不要赔偿的情况下，通过真诚的表达和恰当的行动来传达您的感激之情，相信能让对方感受到您的温暖和善意。