结论：公司与实习生未签订实习协议开展工作，虽不一定直接面临行政处罚，但会面临一系列法律风险和不利后果。以下从不同角度为你详细分析：

从实习生权益保护角度

1. 实习生权益受损风险：实习协议是明确实习生与公司双方权利义务的重要依据。未签订实习协议，一旦在实习过程中出现诸如实习报酬支付、实习时间安排、实习内容变更、实习期间受伤等纠纷，实习生将难以有效维护自身合法权益。例如，若公司未按照约定支付实习报酬，实习生因没有书面协议，在举证证明双方存在报酬约定时会面临较大困难。
2. 公司可能面临实习生索赔：当实习生权益受损且无法通过协议解决时，可能会通过法律途径向公司主张权利。公司可能因未签订协议而在诉讼或仲裁中处于不利地位，需要承担相应的赔偿责任。比如，实习生在实习期间因公司提供的劳动条件不达标而受伤，若无法证明双方存在实习关系及公司的责任，公司可能需承担更多的医疗费用、误工费等赔偿责任。

从公司管理角度

1. 管理混乱风险：没有实习协议的约束，公司在对实习生的管理上会缺乏明确的规范和标准。这可能导致实习生工作安排随意、职责不明确，影响公司的正常运营和工作效率。例如，不同部门对实习生的使用和管理方式不一致，容易出现工作重复或遗漏的情况。
2. 人才流失风险：良好的实习协议可以为实习生提供一定的保障和预期，增强他们对公司的认同感和归属感。未签订实习协议可能让实习生感到公司缺乏规范和诚意，从而降低他们留在公司继续工作的意愿，导致公司人才流失。

从法律合规角度

1. 违反劳动相关法规精神：虽然目前对于实习生与公司之间的关系，法律上并没有明确规定必须签订书面实习协议，但《劳动合同法》等法律法规强调了用人单位与劳动者之间建立劳动关系应当签订书面劳动合同，以保障劳动者的合法权益。实习协议在一定程度上与劳动合同有相似的作用，未签订实习协议违背了法律保障劳动者权益的精神。
2. 可能面临劳动监察部门的关注：如果实习生向劳动监察部门投诉公司未签订实习协议的情况，劳动监察部门可能会对公司进行调查。虽然不一定直接对公司进行处罚，但会要求公司整改，规范用工管理。这可能会对公司的声誉和形象造成一定的负面影响。

建议：为了避免上述风险和不利后果，公司应当与实习生签订书面实习协议。实习协议中应明确双方的基本信息、实习期限、实习内容、实习报酬、实习期间的保险、双方的权利义务、违约责任等重要条款。这样不仅可以保障实习生的合法权益，也有利于公司的规范管理和风险防控。

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