实习协议到期公司不给签合同是违法的。以下是对此问题的详细分析：

法律依据

1. 《中华人民共和国劳动合同法》第十条：建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
2. 《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

具体分析

实习协议到期后，如果劳动者继续在公司工作，而公司未与劳动者签订正式劳动合同，那么从实习协议到期后的次日起，公司应在一个月内与劳动者签订书面劳动合同。如果公司超过一个月仍未签订正式合同，那么从满一个月的次日起，劳动者有权要求公司支付双倍工资，最长不超过十一个月。

劳动者权益保护与建议

1. 积极沟通：劳动者应与公司进行沟通，明确表达希望签订正式劳动合同的意愿，并了解公司未签合同的具体原因。
2. 保留证据：劳动者应妥善保存与公司存在劳动关系的相关证据，如工资支付凭证、社保缴纳记录、工作证、考勤记录等，以备后续可能发生的纠纷之需。
3. 法律维权：若公司拒绝签订正式合同或未按时支付双倍工资，劳动者可依法向劳动保障行政部门投诉，或提起劳动仲裁甚至诉讼来维护自己的合法权益。

综上所述，实习协议到期后，公司不给签合同是违法的。劳动者在此情况下有权要求公司支付双倍工资，并可通过法律途径维护自己的权益。如果还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。