结论：用人单位辞退超龄员工时，劳务派遣公司是否负责，需根据具体情况判断，主要取决于超龄员工是否已享受养老保险待遇或领取退休金，以及劳务派遣公司与用人单位、超龄员工之间的合同约定。
分析说明：
超龄员工已享受养老保险待遇或领取退休金的情况：
- 根据相关法律法规及司法实践，若超龄员工已经依法享受养老保险待遇或领取退休金，其与用人单位之间的关系通常不被认定为劳动关系，而是劳务关系。
- 在这种情况下，如果用人单位辞退超龄员工，由于双方之间不存在劳动关系，劳务派遣公司通常不承担因辞退而产生的法律责任。但具体责任还需根据劳务派遣公司与用人单位之间的合同约定来确定。
超龄员工未享受养老保险待遇或领取退休金的情况：
- 如果超龄员工虽然达到退休年龄，但并未依法享受养老保险待遇或领取退休金，其与用人单位之间仍可能被认定为存在劳动关系。
- 在这种情况下，如果用人单位辞退超龄员工，且辞退行为不符合法律法规规定的条件或程序，用人单位可能需要承担相应的法律责任。而劳务派遣公司作为员工的派遣方，也可能根据其与用人单位之间的合同约定，承担一定的连带责任或补充责任。
劳务派遣公司与用人单位、超龄员工之间的合同约定：
- 劳务派遣公司与用人单位之间的劳务派遣协议，以及劳务派遣公司与超龄员工之间的劳动合同，是确定各方权利义务的重要依据。
- 如果合同中明确约定了辞退超龄员工时的责任承担方式，那么各方应按照合同约定来履行。例如，合同可能约定由用人单位承担全部责任，或者由劳务派遣公司和用人单位按一定比例分担责任。
特殊场景：
- 在实际操作中，还可能存在一些特殊情况，如超龄员工虽然达到退休年龄，但因各种原因未能及时办理退休手续或享受养老保险待遇。在这种情况下，判断其与用人单位之间是否存在劳动关系，以及劳务派遣公司是否应承担责任，可能需要结合具体案情和法律法规进行综合分析。
行动建议：
- 对于用人单位：在辞退超龄员工前，应仔细审查其是否已享受养老保险待遇或领取退休金，以及劳务派遣协议和劳动合同中的相关约定，以避免不必要的法律风险。
- 对于劳务派遣公司：应加强与用人单位的沟通协作，明确双方在辞退超龄员工时的责任承担方式，并在合同中予以明确约定。同时，也应加强对超龄员工的管理和服务，确保其合法权益得到保障。
- 对于超龄员工：如果认为自己被不当辞退，可以首先与用人单位和劳务派遣公司进行协商沟通。如果协商无果，可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
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