关于“第三方不签劳动合同”的问题，这是一个涉及劳动法律关系的重要议题。以下是我从专业角度给出的全面解答：
结论前置：
若第三方未与劳动者签订书面劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位（包括第三方）需承担相应的法律责任，包括但不限于支付双倍工资、确立无固定期限劳动合同关系以及可能的行政责任。
一、法律责任分析
劳务派遣情形：
- 若劳务派遣单位（即第三方）未与劳动者签订劳动合同，自用工之日起超过一个月不满一年未签约的，应向劳动者每月支付二倍工资；满一年仍未签约的，视为已订立无固定期限劳动合同，并应补订书面合同，同时支付前述期间的双倍工资。
- 实际用工的第三方单位（用工单位）通常无签约义务，但若因用工单位原因导致派遣单位无法与劳动者签约并造成损害，用工单位可能与派遣单位承担连带赔偿责任。
其他第三方主体：
- 若其他第三方主体与劳动者形成事实劳动关系而未签订书面劳动合同，同样适用上述关于未签合同的规定，即需支付双倍工资及可能确立无固定期限劳动合同关系。
二、赔偿计算方式
- 确定赔偿月数：从用工满一个月的次日计算至补签劳动合同前一天，或至满一年的前一天（最长十一个月）。
- 计算月工资标准：包括基本工资、奖金、津贴等所有货币性收入。
- 核算双倍工资：月工资标准乘以赔偿月数得出双倍工资总额。
三、主张权益的方式
- 协商：劳动者首先可与相关单位协商赔偿事宜，这是解决纠纷最快捷的方式。
- 仲裁：协商不成时，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求支付双倍工资差额等权益。仲裁是劳动纠纷起诉的前置步骤。
- 诉讼：对仲裁裁决不服的，可向人民法院提起诉讼，通过司法途径维护自身权益。
四、建议与提醒
- 劳动者应在入职时及时与用人单位签订劳动合同，明确双方权利义务，避免后续纠纷。
- 用人单位应遵守法律规定，及时与劳动者签订书面劳动合同，以免承担不必要的法律责任。
- 在处理此类纠纷时，劳动者应保留好相关证据，如工作证、考勤记录、工资支付凭证等，以证明劳动关系的存在和未签合同的事实。
综上所述，对于第三方未与劳动者签订书面劳动合同的情况，劳动者应依法主张自己的权益，而用人单位也应严格遵守法律规定，确保劳动关系的合法合规。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。