核心结论：即使前公司已倒闭且没有劳动合同，您仍可以通过向劳动行政部门投诉或申请劳动仲裁的方式，要求原公司为您办理退工手续或确认劳动关系并办理退工。以下是具体分析和操作建议：
一、关于退工手续的法律规定
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条：“用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。”这是用人单位的法定义务，无论公司是否倒闭，都应当履行。
二、没有劳动合同的处理方式
收集其他证据证明劳动关系：
- 虽然您没有劳动合同，但可以通过收集其他证据来证明您与原公司之间存在劳动关系。这些证据包括但不限于：工资支付记录（如银行转账记录）、工作证、工作服、考勤记录、同事证言、工作邮件或聊天记录等。
申请劳动仲裁确认劳动关系：
- 如果原公司拒绝承认劳动关系或拒绝办理退工手续，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求确认您与原公司之间的劳动关系。在仲裁过程中，您需要提供上述收集到的证据来支持您的主张。
三、公司倒闭后的处理方式
向劳动行政部门投诉：
- 如果原公司已经倒闭，但尚未办理退工手续，您可以向当地的劳动行政部门（如劳动监察大队）投诉，要求他们介入调查并督促原公司或其清算组办理退工手续。
申请劳动仲裁并要求赔偿：
- 如果劳动行政部门无法解决问题，或者原公司已经注销且无法找到相关责任人，您仍然可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在仲裁过程中，除了要求确认劳动关系外，您还可以要求原公司或其相关责任人赔偿因未办理退工手续给您造成的损失（如无法领取失业保险金、无法在新公司入职等）。
四、实际操作建议
尽快收集证据：
- 立即开始收集能够证明您与原公司之间存在劳动关系的所有证据，确保在申请劳动仲裁或投诉时有充分的依据。
咨询专业律师（此处指直接向我咨询）：
- 在处理此类问题时，可能会涉及复杂的法律程序和证据规则。如果您对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到充分保障，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和操作指导。
关注时效问题：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从您知道或者应当知道自己的权益被侵害之日起计算。因此，请务必在时效期间内采取行动，以免丧失维权机会。