结论：员工入职15天提出离职且未签合同的情况下，一般不需要再补签劳动合同，但用人单位需关注未签合同可能带来的法律风险，并考虑是否需要与员工就离职相关事宜进行协商并签署书面协议。

分析说明：

1. 关于补签劳动合同：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位与劳动者建立劳动关系，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。员工入职15天提出离职，此时尚未超过法律规定的签订劳动合同的期限（一个月），因此，从法律角度讲，此时并不构成未签劳动合同的违法行为，也无需因此补签劳动合同。
   • 然而，如果用人单位希望与员工就离职后的相关事宜（如工资结算、保密义务等）进行明确约定，可以考虑与员工协商并签署一份书面的离职协议或相关补充协议，但这并非法律上的“补签劳动合同”。

2. 关于未签劳动合同的法律风险：

   • 尽管在此情况下用人单位无需补签劳动合同，但用人单位仍需注意，如果自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。因此，用人单位应尽快与新入职员工签订劳动合同，以避免潜在的法律风险。
   • 另外，即使员工提出离职，用人单位也应确保在员工离职前与其结清工资、经济补偿等费用，并办理好离职手续，以避免后续纠纷。

3. 关于员工离职的协商与处理：

   • 员工提出离职后，用人单位应与员工进行友好协商，了解员工离职的原因和意愿，并尽量就离职时间、工资结算、工作交接等事宜达成一致意见。
   • 如果可能的话，用人单位可以与员工签署一份书面的离职协议，明确双方的权利和义务，以避免后续因离职事宜产生的纠纷。

行动建议：

• 对于用人单位：尽快与新入职员工签订劳动合同，以避免潜在的法律风险；在员工提出离职后，与员工进行友好协商，并尽量就离职相关事宜签署书面协议。
• 对于员工：如果希望确保自己的权益得到保障，可以在提出离职时与用人单位就离职时间、工资结算等事宜进行明确约定，并考虑要求用人单位出具书面的离职证明或相关协议。

特殊场景提醒：

• 如果员工在离职后因未签劳动合同等问题与用人单位产生纠纷，双方应首先尝试通过协商解决；协商不成的，可以向劳动争议调解委员会申请调解，或者依法向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。

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