当小区电梯损坏而物业不予理睬时，居民可以通过向房地产行政主管部门、特种设备安全监督管理部门、业主委员会以及街道办事处或乡镇人民政府投诉来解决问题，同时应保留好相关证据以备不时之需。 以下是具体分析和建议：
一、物业公司的责任与初步应对
物业公司的职责：
- 根据《中华人民共和国民法典》第九百四十二条，物业服务人应当按照约定和物业的使用性质，妥善维修、养护、清洁、绿化和经营管理物业服务区域内的业主共有部分，包括电梯等共用设施设备。
- 《物业管理条例》第三十五条也明确规定，物业服务企业未能履行物业服务合同的约定，导致业主人身、财产安全受到损害的，应当依法承担相应的法律责任。
初步应对措施：
- 居民首先应向物业公司的管理部门或领导进行投诉，明确表达电梯损坏的情况及要求维修的诉求。
- 可以以书面形式向物业公司发函，详细说明电梯损坏的情况、对居民生活的影响，以及要求物业尽快维修的诉求，并保留好函件的发送记录作为证据。
二、向相关部门投诉
房地产行政主管部门：
- 部门职责：住房和城乡建设局（委）或房地产管理局负责监督管理物业管理活动。
- 维权方式：居民可以通过拨打投诉电话或前往办事窗口，提交电梯损坏的照片、视频及与物业沟通的记录等证据，请求部门对物业进行监督和处理。
特种设备安全监督管理部门：
- 部门职责：市场监督管理局负责监管电梯等特种设备的安全运行。
- 维权方式：居民可以拨打12315热线或特种设备投诉举报电话，详细说明电梯故障情况，如频繁卡顿、异常声响等，以便市场监管部门进行检查和督促整改。
业主委员会：
- 组织职责：业主委员会代表业主利益，监督物业服务企业履行服务合同。
- 维权方式：居民可以向业主委员会反映情况，由其召开会议讨论解决方案，并向物业发出书面整改通知。若物业仍不行动，业主委员会可考虑根据业主大会授权更换物业服务企业。
街道办事处或乡镇人民政府：
- 部门职责：指导、协助业主大会成立和业主委员会选举换届，调解物业管理活动中的纠纷。
- 维权方式：居民可以前往街道办事处或乡镇人民政府的相关科室反映情况，请求他们出面组织协商，推动问题解决。
三、保留证据与法律途径
保留证据：
- 在投诉或协商过程中，居民务必保留好所有相关证据，如电梯损坏的照片、视频、与物业沟通的记录等，以便后续使用。
法律途径：
- 若问题仍未得到解决，居民可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。例如，可以依据物业服务合同向法院提起诉讼，要求物业承担维修电梯的责任，并赔偿因电梯未及时维修给业主造成的损失。
- 在诉讼过程中，提供充分证据至关重要，包括电梯损坏的照片、视频，与物业沟通的记录，以及因电梯问题导致损失的相关证明等。
四、使用公共维修基金
- 根据《物业管理条例》第五十三条，住宅物业、住宅小区内的非住宅物业或者与单幢住宅楼结构相连的非住宅物业的业主，应当按照国家有关规定交纳专项维修资金。专项维修资金属于业主所有，专项用于物业保修期满后物业共用部位、共用设施设备的维修和更新、改造。
- 因此，在电梯损坏且物业不予理睬的情况下，居民还可以考虑申请使用专项维修资金来支持电梯的维修和更新工作。
总结与建议：
当小区电梯损坏而物业不予理睬时，居民应首先尝试通过向物业公司投诉等和平方式解决问题。若物业公司不作为，居民可采取进一步措施，包括联系维保公司、向相关部门投诉、通过法律途径维权以及申请使用公共维修基金等。在整个过程中，居民应保留好相关证据，以便在必要时使用。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。