结论：劳动合同到期后公司未签订新的劳动合同，若劳动者继续为公司提供劳动，则会形成实际劳动关系；若劳动者未继续提供劳动，则通常不构成事实劳动关系。以下是对此问题的详细分析：
一、事实劳动关系的定义与特征
- 定义：事实劳动关系是指用人单位与劳动者虽然没有订立书面劳动合同，但双方实际履行了劳动法所规定的权利义务而形成的劳动关系。
- 特征：事实劳动关系具有实际性、非正式性和缺乏书面合同的特点。它要求劳动者实际为用人单位提供了劳动，且这种劳动是用人单位业务的组成部分。
二、劳动合同到期后未签订新合同的情况分析
劳动者继续提供劳动：
- 如果劳动合同到期后，劳动者继续为公司提供劳动，且公司未表示异议，那么双方之间就形成了实际劳动关系。此时，尽管没有书面合同，但劳动者的劳动行为以及公司的接受行为，都构成了事实劳动关系的证据。
- 在这种情况下，劳动者享有与正式员工相同的权益，包括但不限于工资、福利、社会保险等。同时，公司也需承担相应的法律责任，如支付加班费、提供劳动保护等。
劳动者未继续提供劳动：
- 如果劳动合同到期后，劳动者未再向公司提供任何形式的劳动，那么此时双方之间不存在事实上的劳动关系。
- 这种情况下，劳动者与用人单位之间的法律关系可能仅限于处理合同终止后的相关事宜，如工资结算、经济补偿等。由于不存在实际的用工行为，因此不构成事实劳动关系。
三、法律依据与风险提示
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，建立劳动关系应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系但未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但这并不意味着未签订书面合同就必然构成事实劳动关系，关键在于是否存在实际的用工行为。
- 风险提示：对于劳动者而言，如果劳动合同到期后公司未签订新合同但继续用工，劳动者应及时与公司沟通并要求签订书面合同，以保障自己的合法权益。对于公司而言，如果劳动合同到期后希望继续用工，应及时与劳动者签订书面合同，避免支付双倍工资等不必要的法律成本。
四、建议与行动
- 对于劳动者：如果劳动合同到期后公司未签订新合同但继续用工，你可以收集相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等）以证明实际劳动关系的存在，并在必要时向劳动仲裁机构或法院提起诉讼以维护自己的权益。
- 对于公司：如果劳动合同到期后希望继续用工，建议及时与劳动者签订书面合同，并明确双方的权利义务。如果劳动者不同意续签合同或不再提供劳动，公司应依法办理合同终止手续并支付相应的经济补偿。
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