核心结论：没有对方保险单号并不影响您主张赔偿，您可以通过交警部门、现场沟通、诉讼程序等途径获取保险信息或直接向责任方索赔。以下是具体分析和操作建议：

一、保险单号并非索赔的唯一依据，事故责任认定书是核心证据

根据《道路交通安全法》第七十三条，交警出具的《交通事故责任认定书》是确定事故责任和赔偿的法定依据。只要认定书明确对方全责，您即可据此主张赔偿，无需依赖保险单号。
操作建议：

1. 立即联系对方驾驶员，要求其提供保险单号、保险公司名称及联系方式（可通过短信、微信等书面形式留存证据）；
   
2. 若对方拒绝提供，可向处理事故的交警部门申请协助查询（交警通常会在系统中记录对方保险信息）。

二、若对方拒不配合，可通过以下途径解决

1. 直接向对方索赔

若对方有赔偿能力（如个人财产充足），您可直接要求其支付维修费、医疗费等损失。保留好发票、维修清单等证据，若对方拒付，可凭责任认定书向法院起诉。
法律依据：
《民法典》第一千二百一十三条规定，机动车交通事故责任先由承保交强险的保险公司在责任限额内赔偿，不足部分由商业险补充，仍有不足的由侵权人（即对方驾驶员）赔偿。
关键点：即使无保险单号，您仍可先起诉对方，法院会依职权调查其保险情况。

2. 通过交警或保险公司协助查询保险信息

• 交警部门：携带事故认定书、身份证等材料，到交警大队申请调取对方保险信息（部分地区支持线上查询）；
  
• 己方保险公司：若您投保了车损险，可申请“代位追偿”（即由您的保险公司先赔付，再向对方追偿），此时无需对方保险单号，但需配合提供事故认定书等材料。
  注意：代位追偿可能影响次年保费，需提前与保险公司确认。

3. 向法院起诉时申请调查令

若对方仍拒不提供保险信息，您可在起诉时向法院申请调查令，要求交警部门或保险公司提供对方保险详情。法院会根据责任认定书判决对方赔偿，并明确保险公司承担的份额。

三、特殊情况处理：对方未投保或保险过期

若对方未购买交强险（违法），您可直接要求其个人赔偿全部损失，并可向交警部门举报其违法行为（将面临罚款、扣车等处罚）。
法律依据：
《机动车交通事故责任强制保险条例》第三十九条规定，未投保交强险的机动车不得上路行驶，否则由公安机关交通管理部门扣留车辆，并处投保最低责任限额应缴纳保险费的2倍罚款。

总结建议

1. 优先沟通：联系对方驾驶员或保险公司，要求提供保险信息；
   
2. 留存证据：保存好事故认定书、维修发票、沟通记录等材料；
   
3. 灵活索赔：根据对方配合程度，选择直接索赔、代位追偿或诉讼；
   
4. 及时行动：交通事故赔偿诉讼时效为3年，建议尽早处理。
   

若您在操作中遇到具体问题（如对方拒赔、保险公司推诿等），可随时向我咨询，我会结合您的实际情况提供进一步指导。