家里的鸡被人毒死，您完全有权报警，并且这是维护自身权益的重要途径。以下是对此问题的详细解答：
一、报警的合理性及法律依据
在我国，鸡作为您合法养殖的财产，受到法律的保护。当有人故意投毒导致鸡死亡时，这构成了对您财产的侵犯。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条，故意损毁公私财物的行为是违法的，可处以拘留和罚款。因此，您有权报警，寻求法律的保护和救济。
二、报警后的处理流程与可能涉及的法律责任
警方调查：
- 报警后，警方会迅速展开调查，通过现场勘查、走访、调取监控等方式，努力找出投毒者，并确定案件性质和责任归属。
- 您应积极配合警方调查，提供毒药来源、投放痕迹、鸡死亡的照片等关键证据，以便警方能够尽快查明事实真相。
法律追责：
- 如果投毒者构成犯罪，如故意毁坏财物罪，将依法追究其刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》第二百七十五条，故意毁坏公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金。
- 如果投毒行为还对公共安全造成了威胁，如毒药可能污染水源或食物链，那么投毒者可能同时构成投放毒害性物质危害公共安全罪，将面临更严厉的刑事处罚。
三、维护自身权益的其他方式
再次尝试协商赔偿：
- 在警方介入后，您可以再次尝试与投毒者协商赔偿事宜，明确提出您的损失范围和要求。
调解解决：
- 警方调解：警方可能会根据实际情况组织双方进行调解，引导双方就赔偿问题达成一致。
- 人民调解委员会调解：您也可以向当地的人民调解委员会申请调解，该机构具有中立性和专业性，有助于促成和解。
向法院提起民事诉讼：
- 如果协商和调解均无果，您可以向法院提起民事诉讼，要求投毒者赔偿您的损失。在诉讼中，您需要准备充分证据，如购买凭证、养殖成本记录、死亡照片、警方调查笔录等，并明确要求赔偿直接损失（如购买成本、养殖投入）和间接损失（如预期收益），同时要求对方承担诉讼费用。
- 法院将依法审理并作出判决。若判决支持您的诉讼请求而被告拒不履行，您可向法院申请强制执行。
四、加强安全防范
为防止类似事件再次发生，建议您加强养殖场的安全防范措施，如安装监控摄像头、加固围栏等，以确保您的财产安全。
综上所述，家里的鸡被人毒死，您完全有权报警，并根据法律规定追究投毒者的法律责任。同时，您也可以根据实际情况采取协商、调解或诉讼等法律手段来维护自身合法权益。在整个过程中，保持冷静、收集证据并寻求专业法律援助是至关重要的。