结论：员工上班看手机摔伤，劳务仲裁被驳回后，法院对劳务关系或劳动关系的判决将取决于双方关系的法律定性。若认定为劳动关系，员工可能享受工伤保险待遇；若认定为劳务关系，则需根据过错原则确定赔偿责任。以下为详细分析：
一、劳动关系与劳务关系的区别
劳动关系：通常指的是用人单位与劳动者之间，依据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》等法律法规建立的，具有长期性、稳定性、从属性特征的关系。在劳动关系中，劳动者享有劳动法规定的各项权利，如获得劳动报酬、享受社会保险和福利、获得劳动安全卫生保护等。
劳务关系：则是指平等民事主体之间，一方提供劳务，另一方支付报酬的关系。劳务关系通常具有临时性、一次性或特定性特征，且双方地位相对平等，不受劳动法调整，而是受《中华人民共和国民法典》等民事法律法规的调整。
二、法院对本案的判决可能方向
若认定为劳动关系：
- 员工在上班期间因工作原因摔伤，应被认定为工伤。根据《工伤保险条例》的规定，员工有权享受工伤保险待遇，包括医疗费、护理费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。
- 即使员工在看手机时摔伤，如果看手机行为与工作相关（如查看工作邮件、接收工作指令等），或者看手机行为并未违反公司规章制度且未导致严重后果，那么该行为通常不会被视为故意或重大过失，不影响工伤认定。
若认定为劳务关系：
- 在劳务关系中，提供劳务者因劳务受到损害的，根据双方各自的过错承担相应的责任。这意味着，如果员工在看手机时摔伤，且看手机行为与工作无关或违反了公司规章制度，那么员工可能需要承担一定的过错责任。
- 法院将根据双方提供的证据，如劳务合同、工作记录、监控视频等，来判断员工摔伤的具体原因和双方过错程度，从而确定赔偿责任。
三、建议与注意事项
对于员工：
- 在申请工伤认定或提起诉讼前，应尽可能收集与工作相关的证据，如工作记录、邮件、短信、监控视频等，以证明摔伤与工作相关。
- 如果公司拒绝认定工伤或拒绝赔偿，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁结果不服的，还可以向法院提起诉讼。
对于公司：
- 应建立健全的规章制度，明确员工在工作期间的行为规范和安全注意事项。
- 在发生员工摔伤等事故时，应积极配合员工进行工伤认定和赔偿事宜的处理，避免引发不必要的法律纠纷。
四、后续行动建议
- 如果您或您身边的人遇到类似情况，建议首先明确双方关系的法律定性（是劳动关系还是劳务关系）。
- 根据关系定性，收集相关证据，并咨询专业律师以获取更具体的法律建议。
- 在处理此类纠纷时，保持冷静和理性，通过合法途径维护自己的权益。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。