结论：员工上班途中死亡且构不成工伤的，公司一般无需支付员工父母赡养费，但特定情形下可能需承担一定责任。以下从不同角度进行分析：
一、一般情况：公司无需支付赡养费
法律依据：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。若员工上班途中死亡，但经认定构不成工伤（如因员工自身原因导致事故，或事故责任完全由第三方承担且员工无责任等），则公司不承担工伤保险责任。
- 赡养费通常指的是子女对父母的经济供养义务，这一义务主要基于家庭关系和法律规定，而非劳动关系。在劳动关系中，公司并无直接支付员工父母赡养费的法定义务。
实践应用：
- 在非工伤情形下，员工死亡后，其家属可能无法从公司获得直接的赡养费支付。公司的主要责任是按照相关法律法规和公司规章制度，处理员工的善后事宜，如支付丧葬补助金（若公司有相关福利政策）、协助办理相关手续等。
二、特定情形：公司可能需承担一定责任
公司存在过错：
- 如果公司存在过错，如未提供安全的工作环境、未履行安全保障义务等，导致员工在上班途中发生意外死亡，虽然这不一定构成工伤，但公司可能因过错而承担一定的民事赔偿责任。这种赔偿责任可能包括但不限于死亡赔偿金、丧葬费、被扶养人生活费等（具体根据过错程度和损失情况确定）。然而，这种责任并非直接的“赡养费”支付义务，而是基于过错原则的民事赔偿责任。
- 举例：若公司安排员工在危险路段进行工作相关的活动，且未提供必要的安全保障措施，导致员工在上班途中发生交通事故死亡，公司可能因存在过错而需承担一定的赔偿责任。
公司自愿支付：
- 除了法律规定的责任外，公司也可能出于人道主义关怀或维护企业形象等考虑，自愿向员工家属支付一定的费用或提供其他形式的帮助。这种支付并非法律义务，而是公司自主决定的行为。
三、建议与注意事项
及时认定工伤：
- 对于员工上班途中死亡的情况，公司应尽快协助家属申请工伤认定，以便明确责任归属和赔偿标准。如果经认定构成工伤，公司将按照工伤保险条例的规定承担相应责任。
完善公司规章制度：
- 公司应完善相关规章制度，明确员工在上下班途中的安全保障措施和责任划分，以降低类似事件的发生风险。
咨询专业律师：
- 在处理此类复杂情况时，公司应咨询专业律师的意见，以确保合法合规地处理相关事宜，并维护公司和员工的合法权益。
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