核心结论：签署个人业务承揽合同后工作中意外受伤，能否索赔及如何索赔需分情况讨论，主要取决于合同性质、责任归属及是否构成工伤等因素。以下分情况说明：
1. 若合同性质属于承揽合同，一般由承揽人自行承担风险
根据《民法典》第七百七十条，承揽合同是承揽人按照定作人的要求完成工作，交付工作成果，定作人支付报酬的合同。若您与对方签订的是典型的承揽合同（如独立完成某项任务，对方不控制工作过程），则：
- 风险自担原则：承揽人在完成工作过程中造成自身损害的，定作人原则上不承担赔偿责任，除非定作人对定作、指示或选任有过失（如要求承揽人冒险作业、选择无资质人员等）。
- 索赔路径：若定作人存在上述过错，可要求其按过错比例赔偿；若完全自身原因导致受伤，则需通过医保、商业保险（如意外险）或自身承担费用。
2. 若合同实际构成劳动关系，可申请工伤认定并索赔
实践中，部分“承揽合同”可能被认定为劳动关系（如工作受对方管理、按月支付报酬、长期稳定合作等）。若符合劳动关系特征：
- 工伤认定：根据《工伤保险条例》，工作时间、工作场所内因工作原因受伤，应认定为工伤。即使未签订劳动合同，只要存在事实劳动关系，也可申请工伤认定。
- 索赔流程：
- 申请工伤认定：向用人单位所在地社保部门提交劳动关系证明（如工资记录、工作证等）、医疗证明等材料。
- 劳动能力鉴定：伤情稳定后申请伤残等级鉴定，确定赔偿标准。
- 主张赔偿：根据鉴定结果，要求用人单位支付医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等；若用人单位未缴纳工伤保险，由其承担全部费用。
3. 若合同性质模糊，需结合证据综合判断
若合同条款介于承揽与劳动之间（如部分管理、按件计酬但长期合作），需通过以下证据辅助判断：
- 控制程度：对方是否指定工作时间、地点、方法？
- 报酬支付：是按次结算还是定期发放？
- 工具提供：工作所需工具由谁提供？
- 合作稳定性：是否长期、固定为对方服务？
建议行动：
- 收集证据：保存合同、工作记录、沟通记录、医疗证明等材料；
- 咨询专业意见：携带证据向律师分析合同性质及责任归属；
- 优先协商：与对方沟通赔偿方案，协商不成可申请劳动仲裁或诉讼。
温馨提示：法律问题需结合具体证据和细节判断，以上分析仅供参考。若有进一步疑问或需要协助，可直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细解答。